Interval de confiança per a una mitjana

Fa uns anys una granja de vaques frisones dedicada a la producció de llet va fer un estudi sobre el pes de les seves vaques i va arribar a la conclusió que aquesta variable seguia una distribució normal amb una mitjana de 580 kg i una desviació típica de 25 kg.

a) Calculeu, de manera raonada, la probabilitat que si agafem a l’atzar una vaca frisona d’aquesta granja, el seu pes estigui entre 531 i 629 kg. [1 punt]

b) Creiem que un canvi en el tipus de farratge que es dona a les vaques n’ha modificat la mitjana del pes. Per a comprovar-ho, hem obtingut el pes d’una mostra de 10 vaques de la granja escollides a l’atzar:

569, 575, 611, 581, 583, 614, 589, 555, 566, 571.

Trobeu un interval de confiança del 95 % per a la mitjana del pes de les vaques, suposant que aquest pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de 25 kg. A partir del resultat obtingut, podem afirmar que la mitjana del pes de les vaques ha canviat? Justifiqueu la resposta. [1,5 punts]

(a) 0,95

(b) L’interval de confiança demanat és [565’9048 , 596’8952]. A partir del resultat anterior no podem afirmar, amb una confiança del 95%, que el pes de les vaques hagi canviat perquè el valor 580 està dins de l’interval que hem obtingut.

Una fàbrica es dedica a elaborar pasta. Tot el procés de producció es pot resumir en tres etapes:

1. Compra de matèries primeres. Per a elaborar la pasta, l’empresa ha de comprar oli, farina i sal de bona qualitat. La compra la pot fer a tres proveïdors diferents. El primer proveïdor ven l’oli a 3 €/L, la farina a 0,6 €/kg i la sal a 1 €/kg. El segon proveïdor ven l’oli a 3,5 €/L, la farina a 1 €/kg i la sal a 0,7 €/kg. Finalment, el tercer proveïdor ven l’oli a 2,5 €/L, la farina a 0,8 €/kg i la sal a 0,9 €/kg.

2. Elaboració, empaquetament i control de qualitat. Es fabrica i s’envasa la pasta. Posteriorment, es comprova que la pasta estigui ben feta i envasada correctament, i es verifica que els paquets pesin 500 g de mitjana.

3. Venda. L’estratègia de venda i el preu dels paquets es determinen fent un estudi de mercat.

• opció B (b) En el control de qualitat, s’ha pres una mostra a l’atzar del pes en grams de 9 paquets de pasta i s’han obtingut els valors següents:

501, 506, 497, 495, 503, 491, 512, 505, 499.

Construïu un interval de confiança del 95 % per a la mitjana del pes del paquet de pasta, suposant que aquest pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de 4 g. A partir d’aquestes dades, raoneu breument si podem afirmar que l’etiqueta que diu que els paquets són de 500 g és incorrecta. [1,25 punts]

(Bb) [ 498,39 ; 503,61 ]

Es vol saber el temps mitjà, en minuts, que l’alumnat d’un institut passa diàriament connectat a una xarxa social determinada. S’ha seleccionat una mostra de 175 estudiants i se’ls ha demanat aquesta dada. En aquesta mostra s’ha obtingut una mitjana de 90 minuts, amb una desviació típica de 7 minuts.

• a) Construïu un interval de confiança del 95 % per al temps mitjà que l’alumnat passa diàriament connectat a aquesta xarxa social. [1 punt]

• b) Construïu un interval de confiança del 99 % per al temps mitjà que l’alumnat passa diàriament connectat a aquesta xarxa social. Expliqueu per què aquest interval i el de l’apartat anterior són diferents i quina informació ens dona exactament cada un. [1,5 punts]

(a) L’interval de confiança demanat és [88,9629 , 91,0371]

(b) L’interval de confiança demanat és [88,6348 , 91,3652]

Una empresa d’autobusos afirma que fa el trajecte entre l’aeroport i el centre de la ciutat en 30 minuts. Hem obtingut una mostra del temps, en minuts, que ha trigat en 10 trajectes escollits a l’atzar:

33, 29, 28, 31, 34, 35, 32, 29, 37, 35

• a) Construïu un interval de confiança del 95 % per a la mitjana del temps de trajecte, suposant que aquest temps segueix una distribució normal amb una desviació típica de 2 minuts. [1,5 punts]

• b) A partir del resultat obtingut en l’apartat anterior, podem afirmar que la informació que proporciona l’empresa d’autobusos és errònia? Justifiqueu la resposta. [1 punt]

(a) [31,0604 , 33,5396]

Els envasos d'una marca determinada de iogurts indiquen que contenen de mitjana 150 grams de iogurt. Hem comprat deu iogurts, n'hem pesat el contingut i hem obtingut les dades següents (en grams):

148, 149, 147, 146, 149, 146, 149, 148, 149, 149.

a) Construïu un interval de confiança del 95% per a la mitjana del pes dels iogurts, suposant que el pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de 3 grams. (Recordeu que si Z segueix una distribució Normal (0,1), la P(-1.96≤Z≤1.96)=0.95)

Resposta: mitjana 148, desviació 0.94868 --> interval ( 146.1406 , 149.8594 ) 

b) A partir del resultat obtingut en l'apartat anterior podem afirmar que la informació que hi ha a l'etiqueta és errònia? Justifiqueu la resposta.

Es vol saber la mitjana d'euros que es gasta setmanalment l'alumnat a la cafeteria de l'institut. S'ha seleccionat una mostra de 250 estudiants i se'ls ha demanat aquesta dada. En aquesta mostra hem obtingut una despesa mitjana de 5 euros, amb una desviació típica d'1,5.

Per resoldre aquest problema recordeu que si Z segueix una distribució Normal (0,1), la P(-1.96≤Z≤1.96)=0.95 i P(-2.58≤Z≤2.58)=0.99

a) Construïu un interval de confiança del 95% per a la mitjana d'euros que es gasta setmanalment l'alumnat a la cafeteria.

Resposta: ( 4.8141 , 5.1859 )

b) Construïu un interval de confiança del 99% per a la mitjana d'euros que es gasta setmanalment l'alumnat a la cafeteria.

Resposta: ( 4.7552 , 5.2448 )

c) Expliqueu perquè els dos intervals anteriors són diferents i quina informació ens dona exactament cada un d'ells.