Concavitat i punts d'inflexió

Calculeu els coeficients a, b, c i d de la funció f(x) = ax3 + bx2 + cx + d si sabem que l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f en el punt d’inflexió (1,0) és y = –3x + 3 i que la funció té un extrem relatiu en el punt de la gràfica d’abscissa x = 0. [2,5 punts]

a = 1 , b = −3 , c = 0 , d = 2

(b) a = 2 i b = −3

Solució i criteris de correcció

Sabem que una funció f (x) és contínua i derivable a tots els nombres reals, que té com a segona derivada f″(x) = 6x i que la recta tangent en el punt d’abscissa x = 1 és horitzontal. 

• a) Determineu l’abscissa dels punts d’inflexió de la funció f i els intervals de concavitat i convexitat. Justifiqueu que la funció f té un mínim relatiu en x = 1. [1 punt] 

(a) punt d’inflexió en 𝑥 = 0 ; convexa ( ∩ ) en (−∞,0) i còncava ( ∪ ) en (0,+∞)

(a) f''(2) = 0 , f'(2) = –124 , f(2) = 1

(b) 5

Sigui la funció f(x) = x3 – x2 . 

• a) Trobeu l’equació de la recta tangent a la gràfica i que és paraŀlela a la recta d’equació x + 3y = 0. [1 punt]

• b) Calculeu, si n’hi ha, els punts de la gràfica en què la funció presenta un màxim o mínim relatiu o un punt d’inflexió. [1 punt]

(a) en x=1/3, recta tangent 9x+27y = 1

(b) màxim relatiu en (0,0) , mínim relatiu en (2/3,–4/27) , punt d'inflexió (1/3,–2/27)