Càlcul d'àrees determinades per dues funcions

La vela té dues parts separades per la recta y = 9. Per a construir-la, s’empra un teixit de niló a la part superior, que costa 50 €/u2 , i un teixit de polièster a la part inferior, que costa 70 €/u2. Calculeu el cost total del material que es necessita per a construir aquesta vela. [2,5 punts]

Àrea superior 128/3 , àrea inferior 122/3 , cost total 4980 €

La corba de la gràfica és y=f(x), amb f(x) = –x3 + 7x2 – 6x + 5.

• a) A partir de l’expressió de f(x), calculeu les coordenades dels punts P, Q i R que s’indiquen a la figura. Calculeu també l’equació de la recta PR. [1,25 punts]

• b) Calculeu la superfície del terreny. [1,25 punts]

(a) P = (1,5), Q = (6,5), R = (6,0) // y = -x + 6

(b) 1025/12 = 85,416 u^2

• a) Calculeu les coordenades dels punts A, B i D. [0,75 punts]

• b) Calculeu l’àrea de la zona puntejada. [1,25 punts]

• c) Els alumnes volen pintar la part puntejada de color blau i la part ratllada de color vermell. Sabent que l’àrea total del logotip és 175 / 12 m2, de quin color necessitaran més pintura? [0,5 punts]

(a) A=(2,0) , B=(0,15/4) , C=(3,3)

(b) 9 u2 

(c) caldrà més pintura blava que vermella

Considereu les paràboles y = fa(x), amb fa(x) = ax2 + 2x + 5 – a, on a és un paràmetre real.

• a) Determineu el valor del paràmetre a per al qual la recta tangent a y = fa(x) en el punt d’abscissa x=1 passa pel punt (2,13). [1 punt]

• b) Calculeu els punts de tall de les paràboles y = f1(x) i y = f3(x). [0,5 punts]

• c) Calculeu l’àrea de la regió situada entre les dues paràboles y = f1(x) i y = f3(x). [1 punt]

(a) a=2

(b) (-1,3) i (1,7)

(c) 8/3 u^2

(b) 1/2 u^2

Considereu les funcions f(x) = –x2 + x + 6 i g(x) = –9x + 3x2 .

• a) Calculeu l’àrea de la regió delimitada per les dues funcions. [1,25 punts]

• b) Trobeu l’equació de la recta tangent a la funció f(x) en el punt (–2,0). Representeu aquesta recta tangent i les funcions f(x) i g(x) en uns mateixos eixos de coordenades. [1,25 punts]

(a) 343/12 u^2

(b) y = 5x + 10 

• a)  Donada la funció f(x) = 4/x , calculeu l’equació de la recta tangent a y = f(x) en el punt  d’abscissa x = 1. Trobeu també l’equació de la recta normal a y = f(x) en aquest mateix punt. [1,25 punts]

• b) Feu un esbós de les gràfiques de la corba y = f(x) i de la recta 4x + y = 8, i calculeu l’àrea delimitada per aquestes dues gràfiques, l’eix de les abscisses i la recta vertical x = 3. [1,25 punts]

(a) recta tangent y = −4x + 8 ; recta normal y = (1/4)x + 15/4

(b) àrea = 4 ln(3) − 2 = 2,39 u^2

Considereu la funció f(x) = x3 .

• a) Calculeu en quin punt del tercer quadrant la recta tangent a y = f(x) és paraŀlela a la recta 3x – y = 4. Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica en aquest punt i feu un dibuix aproximat de la gràfica de la funció i les dues rectes. [1,25 punts]

• b) Calculeu l’àrea de la regió delimitada per y = f(x) i la recta y = 3x + 2. [1,25 punts]

(a) punt (−1,−1) ; recta 𝑦 = 3𝑥+2

(b) 27/4 u^2

Considereu la funció f(x) = x3  i sigui 𝑎 un nombre real estrictament positiu.

• a) Calculeu l’equació de la recta t tangent a la gràfica de la funció f en el punt d’abscissa x = 𝑎. Trobeu el punt de tall de la recta t amb l’eix de les abscisses (en funció de 𝑎). [1,25 punts]

• b) Feu un esbós de la gràfica de la funció f i la recta t. Calculeu el valor de 𝑎 perquè l’àrea en el primer quadrant limitada per la funció f, la recta t i l’eix de les abscisses sigui 108 u2 . [1,25 punts]

(a) 𝑦 = 3𝑎^2 𝑥 − 2𝑎^3 ; P = ( 2𝑎/3 , 0 )

(b) 𝑎 = 6

Siguin les funcions f(x) = x3 i g(x) = a·x2 , en què a és un nombre real positiu. 

• a) Trobeu, en funció del paràmetre a, els punts de tall entre les dues corbes y = f(x) i y = g(x) i feu un esbós de la regió limitada per les dues gràfiques. [1,25 punts]

• b) Calculeu el valor de a perquè l’àrea compresa entre y = f(x) i y = g(x) sigui 27/4 u2 . [1,25 punts]

(a) punts de tall (0,0) i (𝑎,𝑎^3)

(b)  𝑎=3