Teorema de Bolzano

Considereu la funció polinòmica f(x) = 3x13 + 5x3 + 2.

• a) Justifiqueu que la seva gràfica talla l’eix de les abscisses en un punt de l’interval [–2, 0]. Doneu un interval de longitud 0,5 on es trobi aquest punt de tall. [1,25 punts]

• b) Estudieu les zones de creixement i de decreixement, i els màxims i els mínims de y = f(x). Quants punts de tall té exactament la gràfica d’aquesta funció amb l’eix de les abscisses? Justifiqueu la resposta. [1,25 punts]

(a) [−1, −0.5]

(b) No té cap màxim ni mínim. Només té un punt de tall amb l'eix d'abscisses.

(a) l’arrel està a l’interval [ 1.4 , 1.5 ]

(b) únic punt crític x = 1, mínim, i no té cap màxim

• a) Expliqueu per què aquest programa és capaç de trobar una solució aproximada de l’equació x + ln(x) = 0 entre els valors a = 0,5 i b = 2. [1,25 punts]

• b) Volem aplicar aquest programa per a trobar les tres arrels de f(x) = x3 – 3x2 + 1 amb valors de a i b diferents. Trobeu justificadament entre quins valors a i b, per a cada arrel, hem d’aplicar el programa per a trobar aproximacions de cadascuna de les tres arrels de la funció. [1,25 punts]

Correcció i criteris d'avaluació

Considereu la funció f(x) = ex-1 – x – 1.

• a) Estudieu-ne la continuïtat, els extrems relatius i els intervals de creixement i decreixement. [1,25 punts]

• b) Demostreu que l’equació f(x) = 0 té exactament dues solucions entre x = –1 i x = 3. [1,25 punts]

(a) mínim relatiu (i absolut) en el punt (1,−1) , decreixent (−∞,1) , creixent (1,+∞)

(b)