Problemes d'optimiTzació

1. Quin és el rectangle de 100 m de perímetre que té àrea màxima ?

   • Solució: el quadrat de 25 m de costat

2. Troba les dimensions de la catifa (rectangular) d’àrea màxima d’entre totes les que tenen perímetre 20 m.

   • Solució: el quadrat de 5 m de costat

3. Descompon el nombre 30 en dos sumands de manera que el seu producte sigui màxim.

   • Solució: 30 = 15+15

4. Reparteix el nombre 4 en dues parts de manera que el quadrat d’una més el doble de l’altra sigui mínim.

   • Solució: 4 = 1 + 3

5. Troba dos nombres positius que sumin 21 i tal que el producte d’un d’ells pel quadrat de l’altre sigui màxim.

   • Solució: 7 i 14

6. Troba dos nombres (no cal que siguin positius) que es diferenciïn en 20 unitats i tal que el producte d’un d’ells pel doble de l’altre sigui mínim.

   • Solució: –10 i 10

7. Descompon el nombre 44 en dos sumands tal que cinc vegades el quadrat del primer sumand més sis vegades el quadrat del segon sigui mínim.

   • Solució: 44 = 24 + 20

8. Sabent que l’altura d’una bala de canó en funció del temps ve donada per la fórmula

d(t) = -10t2 + 400t , calcula l’instant en què la bala assoleix l’altura màxima.

8. • Solució: t = 20

9. Volem tancar un terreny rectangular un costat del qual està delimitat per un riu. De quina manera hem de disposar els 100 m d’estacada per als altres 3 costats si volem que l’àrea delimitada sigui màxima ?

   • Solució: 25 m per als costats adjacents al riu i 50 m per a l’altre

10. Es vol tancar amb un filat un camp rectangular de 6400 m2. Quines dimensions ha de tenir el camp perquè la despesa en filat sigui mínima ?

    • Solució: un quadrat de 80 m de costat

11. De tots els rectangles de 12 m de perímetre, quin és el que en girar al voltant d’un eix genera un cilindre de volum màxim?

    • Solució: el rectangle de costats 2m i 4m , en girar al voltant del costat de 2m

1. Una horta té actualment 24 arbres, que produeixen 600 fruits cada un. Es calcula que, per a cada arbre addicional plantat, la producció de cada arbre disminueix en 15 fruits. Quin ha de ser el nombre total d’arbres que ha de tenir l’horta per tal que la producció sigui màxima? Quina serà aquesta producció?

   • Solució: f(x) = (24+x)(600–15x) = –15x2 + 240x + 14400 ; màxim en x = 8 🡪 32  arbres, que produiran 15360 fruits

1. (PAU) Troba, entre totes les rectes que passen pel punt (1,2), aquella que forma amb els semieixos positius un triangle d’àrea mínima.

   • Solució: y = –2x + 4

2. (PAU) Troba el punt  Q  de la paràbola  y=x2  que és al més a prop possible del punt  P=(3,0). Comprova després que la recta  QP  és perpendicular a la tangent a la paràbola en el punt  Q.

   • Solució: Q = ( 1 , 1 ), amb distància √5 udm

3. (PAU) Digues quins punts de la hipèrbola  x2–2y2=1  estan al més a prop possible del punt  (9/2,0)  i quina és la seva distància a aquest punt.

   • Solució: punts  (3,2)  i  (3,–2), amb distància 5/2 udm

4. (PAU) Digues quina és l’àrea màxima que pot tenir un sector circular de 8 metres de perímetre (recorda que sector circular és la porció de cercle compresa entre un arc de la seva circumferència i els radis que passen pels extrems d’aquest arc).

   • Solució: Àrea 4 m2, amb radi 2 m

5. (PAU) Digues quina és la mínima àrea total que pot tenir un prisma recte que té per base un triangle equilàter si sabem que el seu volum és de 2 metres cúbics.

   • Solució: Àrea 6·√3 m2, amb triangle de costat 2 m

6. (PAU) Quin és el màxim volum que pot tenir un con circular recte d’un metre de generatriu ? (recorda que el volum d’un con és un terç de l’àrea de la base per l’alçada).

   • Solució: Volum 2π√3 / 27 m3, amb radi de la base √(2/3) i alçada √(1/3)

7. (PAU) Tallem en dues parts un filferro de mig metre de llarg per construir-hi les vores d’un quadrat i d’un cercle. Per on l’hem de tallar si volem que la suma d’àrees del quadrat i del cercle que obtindrem sigui mínima? Podríem obtenir un quadrat i un cercle de manera que la suma d’àrees fos màxima?

   • Solució: àrea mínima tallant   400/(2π+8) cm = 28 cm per al quadrat ; la resta (22 cm) per al cercle (radi 3,5 cm) ; l’àrea mínima és de 87,48 cm2 ; no es pot obtenir àrea màxima (caldria prendre-ho tot per al cercle)