Problemes d'optimització PAU2024

PAU CTEC 2024.1.5 - Cobert de fusta

Volem construir un petit cobert de fusta de 6 m3 de volum, en forma de prisma rectangular, adossat a la paret lateral d’una casa, per guardar-hi llenya. Només cal construir, per tant, el sostre i tres parets (la paret del fons del cobert és la de la casa a la qual està adossat). A més, volem que el cobert mesuri el triple d’amplària que de fondària. Cada metre quadrat de paret té un cost de construcció de 30 € i el sostre costa 50 €/m2 . Un cop construït el cobert, afegir-hi una porta té un cost fix de 35 €.

a) Comproveu que el cost de construcció del cobert és determinat per la funció

C(x) = 300/x + 150x2 + 35,

on x és la fondària del cobert en metres. [1,25 punts]

b) Calculeu quines han de ser les dimensions del cobert per tal que el cost de construcció sigui mínim i justifiqueu la resposta. Quin és aquest cost? [1,25 punts]

1 m fondària, 3 m amplada, 2 m alçada ; 485 €

PAU CTEC 2024.3.5 - Rectangles amb vèrtex en funció exponencial

Per a cada punt (x, y) de la corba y = e−2x , amb x > 0 i y > 0, considereu el rectangle amb vèrtexs als punts (0,0), (x,0), (0,y) i (x,y).

a) Comproveu que, d’entre tots aquests rectangles, el que té x = 1/2 és el d’àrea màxima. Quin és el valor d’aquesta àrea? [1,5 punts]
b) Calculeu l’equació de la recta tangent a la funció y = e−2x en el punt d’abscissa x = 0, i el seu punt de tall amb l’eix de les abscisses. [1 punt]

(a) x=1/2 , y=1/e , àrea = 1/2e

(b) recta tangent y = −2x+1 ; punt de tall ( 1/2 , 0 )

PAU CTEC 2024.5.5 - Decorat per a obra de teatre

En Carles vol construir un decorat per a l’obra de teatre de final de curs en forma d’un rectangle i dos semicercles, tal com es mostra a la figura següent:

a) Determineu el perímetre i l’àrea del decorat que s’ha de construir en funció de x i de y. [1 punt]
b) Per a revestir el perímetre del decorat, en Carles té material per a cobrir fins a 10 m. Si el vol gastar tot, quines seran les mides del decorat d’àrea màxima que podrà construir? Quin és el valor d’aquesta àrea? [1,5 punts]

(a) perímetre = (2+π)(x+y) ; àrea = (πx^2)/2 + (πy^2)/2 + 4xy

(b) x = 0,972... ; y = 0,972... ; àrea màxima = 6,747 m^2

PAU CSOC 2024.1.1 - Tarifes de companyies de taxi

Dues companyies de taxi, A i B, ofereixen tarifes diferents. La companyia A ofereix un cost fix de 20 € més 0,4 € per kilòmetre recorregut, mentre que el preu de la companyia B segueix la funció

g(x) = 0,01x2 + 0,1x + 10,

en què x representa el nombre de kilòmetres recorreguts.

a) Quina de les dues companyies ofereix la tarifa més econòmica si fem un recorregut de 10 km? I si en fem un de 80 km? Calculeu la diferència de preu en cada cas. Hi ha cap cost fix en la tarifa de la companyia B només pel sol fet de pujar al taxi? [1 punt]
b) Determineu per a quin nombre de kilòmetres recorreguts les dues tarifes coincideixen. Si considerem només els trajectes inferiors a aquesta quantitat, per a quin nombre de kilòmetres la diferència de preu entre una tarifa i l’altra és màxima? Quina és aquesta diferència màxima de preu? [1,5 punts]

(a) companyia B (A=24,B=12) // companyia A (A=52,B=82) // 10€

(b) 50 km // 15 km // 12,25 €

PAU CSOC 2024.1.3 - Conductor de tractor

(b) 35 km/h , 420 €

PAU CSOC 2024.3.1 - Beneficis d'una empresa

Els beneficis o pèrdues diaris d’una nova empresa durant el primer any de funcionament són donats per la funció

B(x) = –x2 + 260x – 12.000,

en què x representa el dia des de l’inici de l’activitat de l’empresa.

a) Quin benefici o pèrdua va tenir l’empresa el dia 45? Quins dies va obtenir un benefici de 4.000 €? [1 punt]
b) Calculeu quin dia l’empresa va obtenir el benefici màxim i quin va ser aquest valor. Calculeu també entre quins dies l’empresa no va tenir pèrdues. [1,5 punts]

(a) pèrdues de 2325 € , dies 100 i 160

(b) dia 130, 4900 € ; entre els dies 60 i 200

PAU CSOC 2024.3.3 - Capsa de cartró per a retoladors

L’Ona vol construir una capsa de cartró de base quadrada i oberta (sense tapa) per a posar-hi retoladors i colors, com la de la figura següent:

La capsa ha de tenir un volum de 4 litres.

a) Expresseu l’alçària de la capsa (y) en funció de la longitud del costat de la base (x). [0,5 punts]
b) L’Ona vol fer servir el mínim de cartró possible per a construir la capsa. Quants centímetres ha de mesurar el costat de la base (x) perquè la superfície de la capsa sigui mínima? Quants centímetres ha de mesurar l’alçària (y)? Quina quantitat de cartró farà servir per a construir la capsa? [2 punts]

(a) y = 4000/(x^2)

(b) x=20 cm , y=10 cm , superfície 1200 cm^2

PAU CSOC 2024.5.3 - Empresa de llogues de vehicles

Una empresa de lloguer de vehicles disposa d’una flota de 250 vehicles. Si el preu del lloguer diari d’un vehicle és de 50 €, aconsegueix llogar-los tots. S’ha observat que la relació entre el preu del lloguer dels vehicles i el nombre de vehicles que es lloguen és lineal, de manera que per cada euro que s’incrementa el preu diari del lloguer es lloguen dos vehicles menys. Cada vehicle llogat genera un cost diari d’1 € de manteniment.

a) Si anomenem x el nombre d’euros que s’incrementa el preu del lloguer, escriviu la funció que determina els beneficis obtinguts en funció de x. [1 punt]
b) A quin preu cal llogar els vehicles per a aconseguir el màxim de beneficis? Quin és aquest benefici màxim? [1,5 punts]

(a) 𝐵(𝑥) = −2𝑥^2 + 152𝑥 + 12250

(b) preu 38 € , benefici de 15138 €

Page updated

Google Sites

Report abuse