Distribució binomial

Característiques d’un experiment que segueix un model de distribució binomial:

• Cada prova de l’experiment aleatori té dos valors possibles (A,B) i contraris l’un a l’altre.

• Resultats independents cada vegada que es fa l’experiment.

• La probabilitat dels dos valors possibles és constant cada vegada que es fa l’experiment.

Variable aleatòria binomial B(n,p):

• n = quantitat de vegades que es repeteix l'experiment

• p = probabilitat de l'esdeveniment A

• Variable = Quantes vegades s'ha obtingut el resultat A

EXEMPLE PAU CSOC (problema 3)

Els components electrònics produïts per una determinada empresa són defectuosos amb una probabilitat de 0.01. L'empresa ven els components en paquets de 10 i es compromet a retornar els diners si el paquet conté 2 o més components defectuosos.

a) Calculeu la probabilitat que et retornin els diners si compres un paquet de components.

Resposta: 0.0042662

b) Una persona ha comprat 3 paquets de components, quina és la probabilitat que li retornin els diners de, com a mínim, un dels paquets?

Resposta: 0.012755

EXEMPLE PAU CTEC (problema 3)

Els components electrònics produïts per una determinada empresa són defectuosos amb una certa probabilitat p. L'empresa ven els components en paquets de 10 i es compromet a retornar els diners si el paquet conté 2 o més components defectuosos.

a) Calcula, en funció de p, la probabilitat que et retornin els diners si compres un paquet de components.

b) Si p=0.01, quina és la probabilitat de que, comprant 3 paquets de components, et retornin els diners de, com a mínim, un dels paquets? Aquest resultat augmenta o disminueix quan p augmenta? Raona la resposta.

Resposta: 0.012755, augmenta amb p

c) Si p=0.01, calcula la probabilitat que comprant 4 paquets et retornin els diners d'exactament dos d'ells.

Resposta: 0.00010827

EXEMPLE PAU CTEC (problema 4)

Considera l'experiment següent: tirem un dau equilibrat i, a continuació, tirem tantes monedes (equilibrades també) com indiqui el resultat del dau.

a) Calcula la probabilitat que obtinguem exactament 3 cares.

Resposta: 0.16667

b) Calcula la probabilitat que obtinguem exactament 3 cares sabent que el resultat del dau ha estat un nombre parell.

Resposta: 0.1875

c) Calcula la probabilitat que obtinguem exactament 3 cares sabent que la primera moneda ha donat creu.

Resposta: 0.057292

EXEMPLE PAU CTEC (problema 5)

L'Anna i el Blai juguen al joc següent: començant per l'Anna, s'alternen tirant una moneda equilibrada fins a un màxim de 4 cops cadascú; el primer que obtingui cara guanya, i si els hi surten vuit creus empaten.

a) Calcula la probabilitat que guanyi l'Anna i la probabilitat que guanyi el Blai. Qui té més possibilitats de guanyar?

Resposta: p(guanya Anna) = 0.66406 , p(guanya Blai) = 0.33203

b) Aquestes dues quantitats han de sumar 1? Justifica la resposta.

Resposta: p(empatar) = 0.0039063

c) Ara suposem que la moneda està trucada i que la probabilitat que surti cara en una tirada és 0<p<1. Quant ha de ser p per tal que l'Anna tingui el triple de possibilitats de guanyar el joc? (AJUDA: és independent de la quantitat de vegades que tiren la moneda, es pot fer analitzant només un llançament de cadascun)

Resposta: p = 2/3

EXEMPLE PAU CTEC (problema 6)

Tirem un dau equilibrat repetides vegades fins que surti un sis, moment en el qual parem.

a) Quina és la probabilitat que després de n tirades encara no hagi sortit cap sis?

b) Quantes tirades hem de fer, com a mínim, per tal que la probabilitat que surti un sis sigui igual o superior a 0.95?

Resposta: 17 llançaments

c) Sabent que ens ha sortit el primer sis a la cinquena tirada, quina és la probabilitat que no hagi sortit cap cinc ni cap quatre?

Resposta: 0.0625