Distribució binomial

Característiques d’un experiment que segueix un model de distribució binomial:

• Cada prova de l’experiment aleatori té dos valors possibles (A,B) i contraris l’un a l’altre.

• Resultats independents cada vegada que es fa l’experiment.

• La probabilitat dels dos valors possibles és constant cada vegada que es fa l’experiment.

Variable aleatòria binomial B(n,p):

• n = quantitat de vegades que es repeteix l'experiment

• p = probabilitat de l'esdeveniment A

• Variable = Quantes vegades s'ha obtingut el resultat A

Treballadores d'un organisme oficial

El 55 % dels treballadors d’un organisme oficial són dones. Si es trien 5 funcionaris a l’atzar, quina és la probabilitat que 3 siguin dones?

0,33691 

Guanyar una competició

La probabilitat de guanyar en una competició és p = 1/5 . Si se celebren sis proves, quina és la probabilitat de guanyar, com a mínim, quatre vegades? I la de guanyar menys de cinc vegades?

53/3125  ,  624/625

Caixes de 25 unitats

El 3 % de les peces elaborades per una màquina és defectuós. Les peces es venen en caixes de 25 unitats cadascuna. Quina és la probabilitat que una caixa contingui com a màxim una peça defectuosa?

P = 0,82804 

Índex de mortalitat d'una malaltia

Una determinada malaltia té un índex de mortalitat del 20 %. Si en un hospital hi ha sis persones afectades, calcula la probabilitat que almenys la meitat dels pacients sobrevisqui.

0,98304 

Família amb 5 fills

Una família de Tarragona té cinc fills. Suposant que la probabilitat que un dels fills sigui nen és 0,45, calcula la probabilitat que siguin:

• a) Tres nens i dues nenes.

• b) Menys nens que nenes.

• c) Una sola nena.

• d) Cap nen.

a) 0,27565; b) 0,59313; c) 0,11277; d) 0,05033 

Una moneda 100 vegades

Llancem una moneda enlaire 100 vegades. Estableix la probabilitat d’obtenir:

• a) 47 cares.

• b) 35 creus.

• c) Almenys 2 cares.

• d) Cap creu. 

Articles defectuosos

El 2 % dels articles produïts en una fàbrica és defectuós. Calcula el nombre esperat i també la desviació tipus d’articles defectuosos en una comanda de 10000 unitats.

μ = 200; σ = 14 

Compres per internet

Un usuari d'internet sap que en el 60% de les compres que fa no té cap problema. Si en un dia fa 8 compres, calcula:

• La probabilitat que, com a màxim en 6 compres, no tingui cap problema.

• La probabilitat que no tingui problemes almenys en 4 compres.

• La probabilitat que no tingui problemes en més de 3 compres i com a màxim en 7.

PAU CTEC 2025.1.3 - Peces de ferro, acer i titani

Una empresa produeix dos tipus de peces, de ferro i d’acer. El 60 % de la producció total correspon a peces de ferro i la resta són d’acer. Sabem que el 95 % de les peces de ferro produïdes no tenen cap defecte, mentre que el 3 % de les peces d’acer són defectuoses.

• a) Si agafem una peça a l’atzar, quina és la probabilitat que sigui defectuosa? [0,75 punts]

• b ) L’empresa aviat diversificarà la producció i començarà a produir també peces de titani, que es vendran en paquets de 5. Si la probabilitat que una peça de titani sigui defectuosa és un valor desconegut p, i cada peça és defectuosa independentment de les altres, comproveu que l’expressió que ens dona la probabilitat que en un paquet de 5 peces n’hi hagi exactament 4 de defectuoses (en funció de p) és f(p) = 5 ( p4 – p5 ). [0,75 punts]

• c) Considereu la funció f(p) de l’apartat anterior. Determineu el valor màxim que pren f(p) quan p ≥ 0. [1 punt]

(a) 0,042

(c) màxim amb p=4/5 --> f(4/5) = 0,41

PAU CSOC 2025.0.4 - Conductors i tractors

Una pagesa contracta una empresa de conductors perquè li portin els tractors fins als pobles on han de treballar. Suposem que els conductors fan tot el trajecte a una velocitat constant.

(OPCIÓ B)

• b) Suposem que durant el trajecte hi ha en total tres àrees de servei i, en cada una d’elles, el conductor decideix si s’atura a descansar una mica amb una probabilitat d’1/3, independentment de si s’ha aturat o no en les altres àrees. Calculeu quina és la probabilitat que no s’aturi cap vegada. Quina és la probabilitat que s’aturi exactament dues vegades? [1,25 punts]

P(X=0) = 8/27 = 0,2963

P(X=2) = 2/9 = 0,2222

PAU CTEC 2024.3.4 - Arrítmies detectades amb monitor Holter

S’estima que el 20 % dels habitants d’una regió pateix algun tipus d’arrítmia. Per a diagnosticar-la, hi ha la possibilitat de col·locar al pacient un monitor Holter, que detecta l’arrítmia en un 95 % dels casos de persones que la pateixen, però que també dona falsos positius, per motius elèctrics, en persones que no pateixen arrítmies en un 0,5 % dels casos.

• a) Si escollim 4 persones a l’atzar, quina és la probabilitat que almenys una d’elles pateixi arrítmies? [0,75 punts]

• b) Quina és la probabilitat que una persona escollida a l’atzar obtingui un diagnòstic positiu d’arrítmia? [0,75 punts]

• c) Si una persona obté un diagnòstic negatiu a la prova del Holter, quina és la probabilitat que realment pateixi arrítmies? [1 punt]

(a) 0,5904

(b) 0,194

(c) 0,012...

PAU CTEC 2024.5.4 - El dau i els problemes de Matemàtiques

La Rut fa servir el mètode següent per a fer els problemes de matemàtiques: tira un dau equilibrat i, si el resultat és com a màxim 4, pensa i resol el problema ella mateixa; si el resultat és 5 o 6, busca la solució del problema per Internet i la copia. Quan és ella qui ha pensat la solució, la resposta és correcta en el 75 % dels casos; quan copia la solució d’Internet, la resposta és correcta només en el 40 % dels casos.

• a) Quina és la probabilitat que la solució d’un problema respost seguint aquest mètode sigui correcta? [0,75 punts]

• b) Quina és la probabilitat que un problema l’hagi resolt la Rut si sabem que la solució és correcta? [0,75 punts]

• c) Demà la Rut ha d’entregar 5 problemes de matemàtiques. Quina és la probabilitat que n’hi hagi almenys 4 de correctes? [1 punt]

(a) 0,633...

(b) 0,789...

(c) 0,396...

PAU CSOC 2024.0.3 - Components electrònics

Els components electrònics produïts per una determinada empresa són defectuosos amb una probabilitat de 0.01. L'empresa ven els components en paquets de 10 i es compromet a retornar els diners si el paquet conté 2 o més components defectuosos.

a) Calculeu la probabilitat que et retornin els diners si compres un paquet de components.

Resposta: 0.0042662

b) Una persona ha comprat 3 paquets de components, quina és la probabilitat que li retornin els diners de, com a mínim, un dels paquets?

Resposta: 0.012755