Embedded Files
Problemes sense paràmetres
Problemes sense paràmetres
PAU CTEC 2026.1.1
PAU CTEC 2026.1.1
Considereu la funció definida a trossos següent, on m és un paràmetre real.
1.3. Per a m = –2, trobeu un punt on la recta tangent a y = f(x) sigui paraŀlela a y = –2x. Calculeu l’equació d’aquesta recta tangent. [0,5 punts]
PAU CTEC 2026.2.1 (c)
PAU CTEC 2026.2.1 (c)
Considereu la funció f(x).
1.3. Calculeu l’equació de la recta normal (és a dir, la recta perpendicular a la tangent) a la corba y = f(x) en el punt d’abscissa x = 2. [0,75 punts]
PAU CTEC 2025.1.1
PAU CTEC 2025.1.1
Considereu la funció f(x).
a) Determineu els talls de la corba y = f(x) amb els eixos de coordenades, i les equacions de les seves possibles asímptotes verticals, horitzontals i obliqües. [1 punt]
b) Calculeu les equacions de les rectes tangents a la corba y = f(x) en els punts x = 0 i x = 2. Aquestes dues rectes són paral·leles? Justifiqueu la resposta. [1 punt]
c) Hi ha algun punt on la recta tangent a f(x) tingui pendent 1? En cas afirmatiu, trobeu-lo. [0,5 punts]
(a) (0,0), (2,0) ; AV x=1 ; AO y=x-1
(b) y = 2x en x=0 ; y = 2x-4 en x=2
(c) no hi ha cap punt on la recta tangent tingui pendent 1
PAU CTEC 2025.4.1
PAU CTEC 2025.4.1
Considereu la funció f(x)
a) Indiqueu el domini d’aquesta funció i els talls de la corba y = f(x) amb els eixos de coordenades. [0,5 punts]
b) Resoleu l’equació f′(x) = 0 i estudieu les zones de creixement i decreixement de la funció f(x), així com els seus màxims i mínims locals. [1 punt]
c) Trobeu quin ha de ser el valor de a per tal que el punt (a,3) pertanyi a la gràfica de la funció i calculeu l’equació de la recta tangent a la corba y = f(x) en aquest punt. [1 punt]
(a) (−1,0) , (0,1)
(b) x=0 , no té cap màxim ni mínim locals
(c) a=2 , y=2x−1
PAU CTEC 2024.1.1
PAU CTEC 2024.1.1
Considereu la funció f(x), definida per a x > 0.
a) Estudieu-ne els màxims i els mínims, i les zones de creixement i de decreixement. [1 punt]
b) Aquesta funció té asímptotes? Feu un esbós de la seva gràfica. [1 punt]
c) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de y = f(x) en el punt d’abscissa x = 1. [0,5 punts]
(a) màxim en x=e ; creixent a l’interval (0, e) ; decreixent a (e, +∞)
(b) AV en x=0 ; AH en y=0
(c) y = 2x − 2
PAU CTEC 2024.3.5 - Rectangles amb vèrtex en funció exponencial
PAU CTEC 2024.3.5 - Rectangles amb vèrtex en funció exponencial
Per a cada punt (x, y) de la corba y = e−2x , amb x > 0 i y > 0, considereu el rectangle amb vèrtexs als punts (0,0), (x,0), (0,y) i (x,y).
a) Comproveu que, d’entre tots aquests rectangles, el que té x = 1/2 és el d’àrea màxima. Quin és el valor d’aquesta àrea? [1,5 punts]
b) Calculeu l’equació de la recta tangent a la funció y = e−2x en el punt d’abscissa x = 0, i el seu punt de tall amb l’eix de les abscisses. [1 punt]
(a) x=1/2 , y=1/e , àrea = 1/2e
(b) recta tangent y = −2x+1 ; punt de tall ( 1/2 , 0 )
PAU CTEC 2023.2.2
PAU CTEC 2023.2.2
Sigui la funció f(x) = 1/x.
a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f en el punt d’abscissa x = 2. [0,75 punts]
b) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f en el punt d’abscissa x = k, en què k és un nombre real positiu. [0,75 punts]
c) Comproveu que, tal com es pot veure en la figura de sota, la recta de l’apartat b determina un triangle d’àrea constant amb els semieixos positius de coordenades. Calculeu aquesta àrea. [1 punt]
(a) y = −1/4 x + 1
(b) y = −1/k^2 x + 2/k
(c) 2 u^2
PAU CSOC 2023.5.1 - Demanda de gel hidroalcohòlic
PAU CSOC 2023.5.1 - Demanda de gel hidroalcohòlic
En els últims mesos, la demanda de gel hidroalcohòlic ha baixat molt respecte als primers moments de la pandèmia. La funció f(x) , en què x ∈ [0, + ∞) indica el nombre de mesos transcorreguts des de l’inici de la pandèmia, dona les vendes mensuals, en milions de litres, de gel hidroalcohòlic.
a) Determineu si la funció f(x) és contínua en tot el seu domini. Calculeu la taxa de variació mitjana a l’interval [0, 1]. A quin valor tendiran les vendes mensuals de gel al llarg del temps? [1,25 punts]
b) Comproveu que la funció és decreixent en tot el domini i trobeu la recta tangent en el punt x = 1. [1,25 punts]
(a) TVM[0,1] = -8 ; tendiran a 2 milions de litres ; (b) y = (-8/5)x + 28/5
PAU CSOC 2022.5.6 , f(x) = e3x
PAU CSOC 2022.5.6 , f(x) = e3x
Considereu la funció f(x) = e3x
a) Calculeu el pendent de la recta tangent a la gràfica d’aquesta funció en el punt d’abscissa x=0. [1,25 punts]
b) Obteniu l’equació d’aquesta recta tangent. [1,25 punts]
(a) pendent 3
(b) y = 3x + 1
PAU CTEC 2021.1.2 - Recta tangent i recta normal , f(x) = 4/x
PAU CTEC 2021.1.2 - Recta tangent i recta normal , f(x) = 4/x
a) Donada la funció f(x) = 4/x , calculeu l’equació de la recta tangent a y = f(x) en el punt d’abscissa x = 1. Trobeu també l’equació de la recta normal a y = f(x) en aquest mateix punt. [1,25 punts]
(a) recta tangent y = −4x + 8 ; recta normal y = (1/4)x + 15/4
PAU CTEC 2020.4.3
PAU CTEC 2020.4.3
Sigui f (x) una funció derivable la gràfica de la qual passa pel punt (0, 1). La gràfica de la seva derivada, f ′(x), és la que es mostra en la figura.
a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f (x) en el punt de la gràfica d’abscissa x = 0. [1,25 punts]
b) Trobeu les abscisses dels punts singulars de la funció f (x) i classifiqueu-los. [1,25 punts]
(a) 𝑦 = −4𝑥 +1
(b) 𝑥 = −2 punt d’inflexió de tangent horitzontal ; 𝑥 = −1 màxim relatiu ; 𝑥 = 1 mínim relatiu
PAU CTEC 2019.5.4
PAU CTEC 2019.5.4
Considereu la funció f(x).
a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica en aquells punts en què la recta tangent és horitzontal. [1 punt]
b) Calculeu les coordenades del punt de la gràfica de la funció f(x) en què el pendent de la recta tangent és màxim. [1 punt]
PAU CSOC 2018.1.3a , f(x) = x3 – x2
PAU CSOC 2018.1.3a , f(x) = x3 – x2
Sigui la funció f(x) = x3 – x2 .
a) Trobeu l’equació de la recta tangent a la gràfica i que és paraŀlela a la recta d’equació x + 3y = 0. [1 punt]
(a) en x=1/3, recta tangent 9x+27y = 1
PAU CTEC 2014.4.1
PAU CTEC 2014.4.1
Considereu la funció f(x)
a) Calculeu les asímptotes verticals, horitzontals i obliqües de la funció f. [1 punt]
b) Trobeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f en aquells punts en què la recta tangent sigui paral·lela a la recta y = –5x + 4. [1 punt]
PAU CTEC 2013.5.4a
PAU CTEC 2013.5.4a
Per a x ≥ 1, considereu la funció f(x).
a) Trobeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de f(x) en el punt d’abscissa igual a 10.
PAU CTEC 2008.5.3
PAU CTEC 2008.5.3
Digueu per a quin valor de x la recta tangent a la corba y = ln(x2 + 1) és paral·lela a la recta y = x. Escriviu l’equació d’aquesta tangent. [2 punts]
Solució: en x = 1 y = x – 1 + ln(2)
PAU CTEC 2007.1.1
PAU CTEC 2007.1.1
En quin punt la recta tangent a la funció f (x)= x·ex és paral·lela a l’eix d’abscisses? Escriviu l’equació de la recta tangent en aquest punt. [2 punts]
Solució: ( –1 , –1/e ) recta y = –1/e
PAU CTEC 2006.3.1
PAU CTEC 2006.3.1
Considereu la funció definida per f(x). Calculeu quant val el pendent de la recta tangent a la seva gràfica pel punt d’abscissa x = 0. Trobeu si hi ha altres punts en els quals el pendent de la tangent sigui igual al que s’ha obtingut.
Solució: pendent = –1 , altres punts x = –2
PAU CSOC 2006
PAU CSOC 2006
PAU CTEC 2005.4.4
PAU CTEC 2005.4.4
Sigui la paràbola y = 2x2 + x + 1 i sigui A el punt de la paràbola d’abscissa 0.
a) Trobeu l’equació de la recta tangent a la paràbola en el punt A.
b) En quin punt de la paràbola la recta tangent és perpendicular a la recta que heu trobat en l’apartat anterior?
Solució: A = (0,1) , recta y = x + 1 // P = ( –1/2 , 1 )
PAU CSOC 2005
PAU CSOC 2005
PAU CSOC 2005
PAU CSOC 2005
PAU CSOC 2004
PAU CSOC 2004
PAU CTEC 2004.3.1
PAU CTEC 2004.3.1
Considereu la funció f(x) = x3 – 3x2 + 2x + 2.
a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de f(x) en el punt d’abscissa x = 3.
b) Existeix alguna altra recta tangent a la gràfica de f(x) que sigui paral·lela a la que heu trobat? Raoneu la resposta i, en cas afirmatiu, trobeu-ne l’equació.
Solució: y = 11x–25 // en x = –1, y = 11x+7
PAU CTEC 2000
PAU CTEC 2000
Donada la funció f(x), determina l'equació de la recta tangent a la seva gràfica en el punt on s'anul·la la segona derivada.
PAU CTEC 2000
PAU CTEC 2000
Explicita l'equació de la recta tangent a la gràfica de f(x) que té pendent igual a 1.
PAU CTEC 2000
PAU CTEC 2000
Determina els punts de la gràfica de f (x) = x4 + 5x on la recta tangent és paral·lela a la bisectriu del primer quadrant. Calcula l’equació d’aquestes rectes tangents.
Solució: en x = –1, la recta és y = x – 3
Problemes amb paràmetres
Problemes amb paràmetres
PAU CTEC 2024.5.3ab - Família de paràboles fa(x) = ax2+2x+5–a
PAU CTEC 2024.5.3ab - Família de paràboles fa(x) = ax2+2x+5–a
Considereu les paràboles y = fa(x), amb fa(x) = ax2 + 2x + 5 – a, on a és un paràmetre real.
a) Determineu el valor del paràmetre a per al qual la recta tangent a y = fa(x) en el punt d’abscissa x=1 passa pel punt (2,13). [1 punt]
b) Calculeu els punts de tall de les paràboles y = f1(x) i y = f3(x). [0,5 punts]
(a) a=2
(b) (-1,3) i (1,7)
PAU CSOC 2021.1.6 - paràmetre p amb rectes tangents paral·leles (resolució)
PAU CSOC 2019.1.3 - paràmetres a,b (resolució)
PAU CTEC 2013.3.6
PAU CTEC 2013.3.6
Sigui f(x) = x3 + ax2 + bx + c. Sabem que la gràfica d’aquesta funció és tangent a la recta r: y = x + 3 en el punt d’abscissa x = –1, i que en el punt d’abscissa x = 1 la recta tangent és paral·lela a la recta r. Calculeu el valor dels paràmetres a, b i c. [2 punts]
PAU CTEC 2007.2.3
PAU CTEC 2007.2.3
Calculeu els valors del paràmetre a, (a ≠ 0), que fan que les tangents a la corba d’equació y = ax4 + 2ax3 – ax + 1512 en els punts d’inflexió siguin perpendiculars. [2 punts]
Solució: x = 0 , x = –1 a = 1 , a = –1
PAU CTEC 2000
PAU CTEC 2000
Calculeu els valors de a tal que les tangents a la gràfica de la funció f (x) = ax3 + 2x2 + 3 en els punts d'abscisses x = 1 i x = –1 siguin perpendiculars entre si.
Solució: a = +√5 / 3 , a = –√5 / 3
PAU
PAU
Determineu els valors del paràmetre b, perquè les tangents a la corba de la funció f (x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9 en els punts d'abscisses x = 1 , x = 2 siguin paral·leles.
Solució: b = 0 , b = –2/9
Rectes tangents des d'un punt exterior
Rectes tangents des d'un punt exterior
PAU CTEC 2003
PAU CTEC 2003
Page updated
Google Sites
Report abuse