Rectes tangents

Les rectes tangents

PAU CTEC 2025.1.1

Considereu la funció f(x).

a) Determineu els talls de la corba y = f(x) amb els eixos de coordenades, i les equacions de les seves possibles asímptotes verticals, horitzontals i obliqües. [1 punt]
b) Calculeu les equacions de les rectes tangents a la corba y = f(x) en els punts x = 0 i x = 2. Aquestes dues rectes són paral·leles? Justifiqueu la resposta. [1 punt]
c) Hi ha algun punt on la recta tangent a f(x) tingui pendent 1? En cas afirmatiu, trobeu-lo. [0,5 punts]

(a) (0,0), (2,0) ; AV x=1 ; AO y=x-1

(b) y = 2x en x=0 ; y = 2x-4 en x=2

PAU CTEC 2025.4.1

Considereu la funció f(x)

a) Indiqueu el domini d’aquesta funció i els talls de la corba y = f(x) amb els eixos de coordenades. [0,5 punts]
b) Resoleu l’equació f′(x) = 0 i estudieu les zones de creixement i decreixement de la funció f(x), així com els seus màxims i mínims locals. [1 punt]
c) Trobeu quin ha de ser el valor de a per tal que el punt (a,3) pertanyi a la gràfica de la funció i calculeu l’equació de la recta tangent a la corba y = f(x) en aquest punt. [1 punt]

(a) (−1,0) , (0,1)

(b) x=0 , no té cap màxim ni mínim locals

PAU CTEC 2024.1.1

Considereu la funció f(x), definida per a x > 0.

a) Estudieu-ne els màxims i els mínims, i les zones de creixement i de decreixement. [1 punt]
b) Aquesta funció té asímptotes? Feu un esbós de la seva gràfica. [1 punt]
c) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de y = f(x) en el punt d’abscissa x = 1. [0,5 punts]

(a) màxim en x=e ; creixent a l’interval (0, e) ; decreixent a (e, +∞)

(b) AV en x=0 ; AH en y=0

PAU CTEC 2024.3.5 - Rectangles amb vèrtex en funció exponencial

Per a cada punt (x, y) de la corba y = e−2x , amb x > 0 i y > 0, considereu el rectangle amb vèrtexs als punts (0,0), (x,0), (0,y) i (x,y).

a) Comproveu que, d’entre tots aquests rectangles, el que té x = 1/2 és el d’àrea màxima. Quin és el valor d’aquesta àrea? [1,5 punts]
b) Calculeu l’equació de la recta tangent a la funció y = e−2x en el punt d’abscissa x = 0, i el seu punt de tall amb l’eix de les abscisses. [1 punt]

(a) x=1/2 , y=1/e , àrea = 1/2e

(b) recta tangent y = −2x+1 ; punt de tall ( 1/2 , 0 )

PAU CTEC 2024.5.3 - Família de paràboles fa(x) = ax2+2x+5–a

Considereu les paràboles y = fa(x), amb fa(x) = ax2 + 2x + 5 – a, on a és un paràmetre real.

a) Determineu el valor del paràmetre a per al qual la recta tangent a y = fa(x) en el punt d’abscissa x=1 passa pel punt (2,13). [1 punt]
b) Calculeu els punts de tall de les paràboles y = f1(x) i y = f3(x). [0,5 punts]
c) Calculeu l’àrea de la regió situada entre les dues paràboles y = f1(x) i y = f3(x). [1 punt]

(a) a=2

(b) (-1,3) i (1,7)

PAU CTEC 2023.2.2

Sigui la funció f(x) = 1/x.

a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f en el punt d’abscissa x = 2. [0,75 punts]
b) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f en el punt d’abscissa x = k, en què k és un nombre real positiu. [0,75 punts]
c) Comproveu que, tal com es pot veure en la figura de sota, la recta de l’apartat b determina un triangle d’àrea constant amb els semieixos positius de coordenades. Calculeu aquesta àrea. [1 punt]

(a) y = −1/4 x + 1

(b) y = −1/k^2 x + 2/k

PAU CSOC 2023.5.1 - Demanda de gel hidroalcohòlic

(a) TVM[0,1] = -8 ; tendiran a 2 milions de litres

(b) y = (-8/5)x + 28/5

PAU CSOC 2022.5.6 , f(x) = e3x

Considereu la funció f(x) = e3x

a) Calculeu el pendent de la recta tangent a la gràfica d’aquesta funció en el punt d’abscissa x=0. [1,25 punts]
b) Obteniu l’equació d’aquesta recta tangent. [1,25 punts]

(a) pendent 3

(b) y = 3x + 1

PAU CTEC 2021.1.2 - Recta tangent i recta normal , f(x) = 4/x

a) Donada la funció f(x) = 4/x , calculeu l’equació de la recta tangent a y = f(x) en el punt d’abscissa x = 1. Trobeu també l’equació de la recta normal a y = f(x) en aquest mateix punt. [1,25 punts]

(a) recta tangent y = −4x + 8 ; recta normal y = (1/4)x + 15/4

PAU CTEC 2021.5.6

Solució i criteris de correcció

PAU CSOC 2021.1.6

Solució i criteris de correcció

PAU CTEC 2020.4.3

Sigui f (x) una funció derivable la gràfica de la qual passa pel punt (0, 1). La gràfica de la seva derivada, f ′(x), és la que es mostra en la figura.

a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f (x) en el punt de la gràfica d’abscissa x = 0. [1,25 punts]
b) Trobeu les abscisses dels punts singulars de la funció f (x) i classifiqueu-los. [1,25 punts]

(a) 𝑦 = −4𝑥 +1

(b) 𝑥 = −2 punt d’inflexió de tangent horitzontal ; 𝑥 = −1 màxim relatiu ; 𝑥 = 1 mínim relatiu