Monotonia i extrems

Considereu la funció f(x)

a) Indiqueu el domini d’aquesta funció i els talls de la corba y = f(x) amb els eixos de coordenades. [0,5 punts]
b) Resoleu l’equació f′(x) = 0 i estudieu les zones de creixement i decreixement de la funció f(x), així com els seus màxims i mínims locals. [1 punt]
c) Trobeu quin ha de ser el valor de a per tal que el punt (a,3) pertanyi a la gràfica de la funció i calculeu l’equació de la recta tangent a la corba y = f(x) en aquest punt. [1 punt]

(a) (−1,0) , (0,1)

(b) x=0 , no té cap màxim ni mínim locals

Considereu la funció f(x), definida per a x > 0.

a) Estudieu-ne els màxims i els mínims, i les zones de creixement i de decreixement. [1 punt]
b) Aquesta funció té asímptotes? Feu un esbós de la seva gràfica. [1 punt]
c) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de y = f(x) en el punt d’abscissa x = 1. [0,5 punts]

(a) màxim en x=e ; creixent a l’interval (0, e) ; decreixent a (e, +∞)

(b) AV en x=0 ; AH en y=0

Considereu la funció polinòmica f(x) = 3x13 + 5x3 + 2.

a) Justifiqueu que la seva gràfica talla l’eix de les abscisses en un punt de l’interval [–2, 0]. Doneu un interval de longitud 0,5 on es trobi aquest punt de tall. [1,25 punts]
b) Estudieu les zones de creixement i de decreixement, i els màxims i els mínims de y = f(x). Quants punts de tall té exactament la gràfica d’aquesta funció amb l’eix de les abscisses? Justifiqueu la resposta. [1,25 punts]

(a) [−1, −0.5]

(b) No té cap màxim ni mínim. Només té un punt de tall amb l'eix d'abscisses.

Considereu la funció f(x) = –2 + 10 (x–1) ln x, definida per a x > 0.

a) Comproveu que f(x) té una arrel a l’interval [1, 1,5] i busqueu un interval d’una dècima de longitud que també contingui aquesta mateixa arrel. [0,75 punts]
b) Sense calcular els punts crítics, justifiqueu que f(x) és decreixent a l’interval (0,1) i creixent a (1,+∞). Quins màxims i mínims té aquesta funció? [1 punt]

(a) l’arrel està a l’interval [ 1.4 , 1.5 ]

(b) únic punt crític x = 1, mínim, i no té cap màxim

Sigui la funció f(x)

a) Calculeu els valors dels paràmetres a i b si sabem que la gràfica de la funció f té un extrem relatiu en x = –1 i passa pel punt P = ( –2 , 13/5 ) [1,25 punts]
b) Per al cas a = b, calculeu i classifiqueu els extrems relatius de la funció. [1,25 punts]

(a) a = 3 , b = 3

(b) mínim relatiu en 𝑥 = −1 i màxim relatiu en 𝑥 = 1

(a) a = 6 , b = 4

(b) en t=2, 900 bacteris

Considereu la funció f(x).

a) Estudieu si té punts crítics i, en cas que en tingui, justifiqueu de quin tipus són. Determineu també quins són els intervals de creixement i decreixement de la funció. [1,5 punts]
b) Comproveu que l’equació f(x) = 0 té una única solució en l’interval (–2, 1). [1 punt]

(a) x = 0 punt d'inflexió ; x = 3 mínim relatiu ; decreixent (−∞,2)∪(2,3) ; creixent (3,+∞)

Considereu la funció f(x) = ex-1 – x – 1.

a) Estudieu-ne la continuïtat, els extrems relatius i els intervals de creixement i decreixement. [1,25 punts]
b) Demostreu que l’equació f(x) = 0 té exactament dues solucions entre x = –1 i x = 3. [1,25 punts]

(a) mínim relatiu (i absolut) en el punt (1,−1) , decreixent (−∞,1) , creixent (1,+∞)

(b)

Sigui la funció f(x), en què ln indica el logaritme neperià, definida per a x > 0.

a) Calculeu les coordenades del punt de la corba y = f(x) en què la recta tangent a la corba en aquest punt és horitzontal. Estudieu si aquest punt és un extrem relatiu i classifiqueu-lo. [1,25 punts]

(a) ( 𝑒 , 1/𝑒 ) , és un màxim relatiu