Monotonia i extrems

Les rectes tangents

Troba els valors d’x per als quals la funció ... pren valors màxims i/o mínims. Raona tots els passos.

f(x) = x2 + 4x + 5
f(x) = 3x3 + 12x2 + 9x + 1
f(x) = 2x3 + 3x2 – 36x + 1
f(x) = ( 3x – 2x2 ) · e - x
màxim x = 1/2 , mínim x = 3
f(x) = 6x5 – 15x4 + 10x3
no té màxims ni mínims

PAU CTEC 2025.4.1

Considereu la funció f(x)

a) Indiqueu el domini d’aquesta funció i els talls de la corba y = f(x) amb els eixos de coordenades. [0,5 punts]
b) Resoleu l’equació f′(x) = 0 i estudieu les zones de creixement i decreixement de la funció f(x), així com els seus màxims i mínims locals. [1 punt]
c) Trobeu quin ha de ser el valor de a per tal que el punt (a,3) pertanyi a la gràfica de la funció i calculeu l’equació de la recta tangent a la corba y = f(x) en aquest punt. [1 punt]

PAU CTEC 2024.1.1

Considereu la funció f(x), definida per a x > 0.

a) Estudieu-ne els màxims i els mínims, i les zones de creixement i de decreixement. [1 punt]
b) Aquesta funció té asímptotes? Feu un esbós de la seva gràfica. [1 punt]
c) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de y = f(x) en el punt d’abscissa x = 1. [0,5 punts]

(a) màxim en x=e ; creixent a l’interval (0, e) ; decreixent a (e, +∞)

(b) AV en x=0 ; AH en y=0

PAU CTEC 2024.3.1 (b) , f(x) = 3x13+5x3+2

Considereu la funció polinòmica f(x) = 3x13 + 5x3 + 2.

a) Justifiqueu que la seva gràfica talla l’eix de les abscisses en un punt de l’interval [–2, 0]. Doneu un interval de longitud 0,5 on es trobi aquest punt de tall. [1,25 punts]
b) Estudieu les zones de creixement i de decreixement, i els màxims i els mínims de y = f(x). Quants punts de tall té exactament la gràfica d’aquesta funció amb l’eix de les abscisses? Justifiqueu la resposta. [1,25 punts]

(a) [−1, −0.5]

(b) No té cap màxim ni mínim. Només té un punt de tall amb l'eix d'abscisses.

PAU CTEC 2024.5.1b , f(x) = –2 + 10 (x–1) ln x

Considereu la funció f(x) = –2 + 10 (x–1) ln x, definida per a x > 0.

a) Comproveu que f(x) té una arrel a l’interval [1, 1,5] i busqueu un interval d’una dècima de longitud que també contingui aquesta mateixa arrel. [0,75 punts]
b) Sense calcular els punts crítics, justifiqueu que f(x) és decreixent a l’interval (0,1) i creixent a (1,+∞). Quins màxims i mínims té aquesta funció? [1 punt]
c) Calculeu lim x → 0+ f(x) i lim x → +∞ f(x), i feu un esbós de la gràfica d'aquesta funció. [0,75 punts]

(a) l’arrel està a l’interval [ 1.4 , 1.5 ] ; (b) únic punt crític x = 1, mínim, i no té cap màxim

PAU CTEC 2023.5.6

Sigui la funció f(x)

a) Calculeu els valors dels paràmetres a i b si sabem que la gràfica de la funció f té un extrem relatiu en x = –1 i passa pel punt P = ( –2 , 13/5 ) [1,25 punts]
b) Per al cas a = b, calculeu i classifiqueu els extrems relatius de la funció. [1,25 punts]

(a) a = 3 , b = 3

(b) mínim relatiu en 𝑥 = −1 i màxim relatiu en 𝑥 = 1

PAU CSOC 2022.2.4 - Població d'un cultiu de bacteris

Un grup de biòlegs està estudiant un cultiu de bacteris. La població d’aquests bacteris (en centenars) és donada per la funció P(t), en què a i b són constants positives reals i t ≥ 0 és el temps transcorregut en minuts.

Sabem que a l’instant inicial de l’estudi la població de bacteris era de 6 centenars i que el valor màxim de població s’ha assolit al cap de 2 minuts d’haver iniciat l’estudi.

a) Trobeu els valors de les constants a i b. [1,25 punts]
b) Calculeu la població màxima de bacteris i estudieu-ne el comportament a llarg termini, és a dir, cap a quin valor s’estabilitza el nombre de bacteris. [1,25 punts]

PAU CTEC 2021.1.6

Considereu la funció f(x).

a) Estudieu si té punts crítics i, en cas que en tingui, justifiqueu de quin tipus són. Determineu també quins són els intervals de creixement i decreixement de la funció. [1,5 punts]
b) Comproveu que l’equació f(x) = 0 té una única solució en l’interval (–2, 1). [1 punt]

PAU CTEC 2021.2.6 , f(x) = ex-1 – x – 1

Considereu la funció f(x) = ex-1 – x – 1.

a) Estudieu-ne la continuïtat, els extrems relatius i els intervals de creixement i decreixement. [1,25 punts]
b) Demostreu que l’equació f(x) = 0 té exactament dues solucions entre x = –1 i x = 3. [1,25 punts]

(a) mínim relatiu (i absolut) en el punt (1,−1) , decreixent (−∞,1) , creixent (1,+∞)

(b)

PAU CTEC 2021.5.6 , f(x) = 2x3 + mx2 + nx + p

PAU CTEC 2021.5.6 - resolució

PAU CSOC 2021.5.1 , f(x) = 2x / (x2+1)

PAU CSOC 2021.2.6 , f(x) = 4x3 + ax2 – 2

Considereu la funció real de variable real f(x) = 4x3 + ax2 – 2.

a) Determineu el valor del paràmetre real a per tal que la funció tingui un extrem relatiu en el punt d'abscissa x = –1. [1,25 punts]
b) Calculeu els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x) quan a = 12. Indiqueu també els punts en què hi ha extrems relatius i classifiqueu-los. [1,25 punts]

PAU CTEC 2020.3.4 (a)

Sigui la funció f(x), en què ln indica el logaritme neperià, definida per a x > 0.

a) Calculeu les coordenades del punt de la corba y = f(x) en què la recta tangent a la corba en aquest punt és horitzontal. Estudieu si aquest punt és un extrem relatiu i classifiqueu-lo. [1,25 punts]

PAU CSOC 2020.3.4 , f(x) = ax4 + bx2 + c

Considereu la funció f(x) = ax4 + bx2 + c

a) Trobeu els valors dels paràmetres a, b i c sabent que té un màxim en el punt (2,1) i un mínim en el punt (0,–1). [1,25 punts]
b) Trobeu els intervals de creixement i de decreixement de la funció pels valors dels paràmetres a, b i c trobats a l'apartat anterior. [1,25 punts]