Integrals definides

La vela té dues parts separades per la recta y = 9. Per a construir-la, s’empra un teixit de niló a la part superior, que costa 50 €/u2 , i un teixit de polièster a la part inferior, que costa 70 €/u2. Calculeu el cost total del material que es necessita per a construir aquesta vela. [2,5 punts]

Àrea superior 128/3 , àrea inferior 122/3 , cost total 4980 €

Un usuari d’Internet ha estimat que el 25 % dels correus electrònics que rep són correu brossa, mentre que la resta no ho són. Per a facilitar la classificació del correu, s’ha instal·lat un filtre que envia a la carpeta de correu brossa el 95 % dels missatges que efectivament ho són. Malauradament, aquest filtre deixa a la safata d’entrada només el 90 % dels missatges bons (i la resta els envia a la carpeta de correu brossa).

• a) Quina és la probabilitat que un missatge sigui enviat pel filtre a la carpeta de correu brossa? [0,75 punts]

• b) Un dia, aquest usuari obre la carpeta de correu brossa. Quin percentatge de missatges que no són correu brossa hi trobarà? [0,75 punts]

(a) 0,3125

(b) 0,24

En un servidor de correu electrònic determinat, la probabilitat de rebre com a mínim dos correus en menys de t minuts ve donada per la funció F(t) = ∫0t Ae-0,5x dx, on A és una constant real.

• c) Sabent que la probabilitat de rebre com a mínim dos correus en menys de dos minuts és 1–e-1, trobeu el valor de A. [1 punt]

(c) A = 0,5

La corba de la gràfica és y=f(x), amb f(x) = –x3 + 7x2 – 6x + 5.

• a) A partir de l’expressió de f(x), calculeu les coordenades dels punts P, Q i R que s’indiquen a la figura. Calculeu també l’equació de la recta PR. [1,25 punts]

• b) Calculeu la superfície del terreny. [1,25 punts]

(a) P = (1,5), Q = (6,5), R = (6,0) // y = -x + 6

(b) 1025/12 = 85,416 u^2

• a) Calculeu les coordenades dels punts A, B i D. [0,75 punts]

• b) Calculeu l’àrea de la zona puntejada. [1,25 punts]

• c) Els alumnes volen pintar la part puntejada de color blau i la part ratllada de color vermell. Sabent que l’àrea total del logotip és m2, de quin color necessitaran més pintura? [0,5 punts]

(a) A=(2,0) , B=(0,15/4) , C=(3,3)

(b) 9 u2 

(c) caldrà més pintura blava que vermella

Considereu les paràboles y = fa(x), amb fa(x) = ax2 + 2x + 5 – a, on a és un paràmetre real.

• a) Determineu el valor del paràmetre a per al qual la recta tangent a y = fa(x) en el punt d’abscissa x=1 passa pel punt (2,13). [1 punt]

• b) Calculeu els punts de tall de les paràboles y = f1(x) i y = f3(x). [0,5 punts]

• c) Calculeu l’àrea de la regió situada entre les dues paràboles y = f1(x) i y = f3(x). [1 punt]

(a) a=2

(b) (-1,3) i (1,7)

(c) 8/3 u^2

(b) 1/2 u^2

Considereu les funcions f(x) = –x2 + x + 6 i g(x) = –9x + 3x2 .

• a) Calculeu l’àrea de la regió delimitada per les dues funcions. [1,25 punts]

• b) Trobeu l’equació de la recta tangent a la funció f(x) en el punt (–2,0). Representeu aquesta recta tangent i les funcions f(x) i g(x) en uns mateixos eixos de coordenades. [1,25 punts]

(a) 343/12 u^2

(b) y = 5x + 10 

Sigui  f′(x) = 3x2 – 12x  la derivada d’una funció f(x).

• a) Si sabem que f(x) talla l’eix de les abscisses en x = 1, calculeu l’expressió de la funció f(x). [0,75 punts]

• b) Calculeu l’abscissa del punt d’inflexió de f(x) i estudieu la concavitat de la funció. [0,75 punts]

• c) Sabem que l’àrea del recinte limitat per la corba y = f″(x), l’eix de les abscisses i les rectes x = 0 i x = a, amb a>2, és 15 u2 . Calculeu el valor de a. [1 punt]

(a) f(x) = x^3 − 6x^2 +5

(b) La funció té concavitat negativa o és còncava cap avall a l’interval (−∞,2)

Punt d'inflexió (2,-11) 

La funció té concavitat positiva o és còncava cap amunt a l’interval (2,+∞) 

(c) a = 3

• a)  Trobeu una funció polinòmica y = g(x) de grau 3 tal que talli l’eix de les ordenades en el punt (0,5), que la recta tangent a y = g(x) en el punt d’abscissa x = 1 sigui horitzontal i que g″(x) = 2x + 1. [1 punt]

• b) Comproveu que la funció f(x) = –x3 + 6x2 – 16 té una arrel a x = 2 i que és estrictament creixent a l’interval (0,4). Utilitzeu aquesta informació per a calcular l’àrea determinada per la funció f(x), l’eix de les abscisses i les rectes x = 0 i x = 4. [1,5 punts]

(a) g(x) = (1/3)x3 + (1/2)x2 – 2x + 5

(b) 40 u^2 

Considereu la funció f(x) = x3  i sigui 𝑎 un nombre real estrictament positiu.

• a) Calculeu l’equació de la recta t tangent a la gràfica de la funció f en el punt d’abscissa x = 𝑎. Trobeu el punt de tall de la recta t amb l’eix de les abscisses (en funció de 𝑎). [1,25 punts]

• b) Feu un esbós de la gràfica de la funció f i la recta t. Calculeu el valor de 𝑎 perquè l’àrea en el primer quadrant limitada per la funció f, la recta t i l’eix de les abscisses sigui 108 u2 . [1,25 punts]

(a) 𝑦 = 3𝑎^2 𝑥 − 2𝑎^3 ; P = ( 2𝑎/3 , 0 )

(b) 𝑎 = 6

• a)  Donada la funció f(x) = 4/x , calculeu l’equació de la recta tangent a y = f(x) en el punt  d’abscissa x = 1. Trobeu també l’equació de la recta normal a y = f(x) en aquest mateix punt. [1,25 punts]

• b) Feu un esbós de les gràfiques de la corba y = f(x) i de la recta 4x + y = 8, i calculeu l’àrea delimitada per aquestes dues gràfiques, l’eix de les abscisses i la recta vertical x = 3. [1,25 punts]

(a) recta tangent y = −4x + 8 ; recta normal y = (1/4)x + 15/4

(b) àrea = 4 ln(3) − 2 = 2,39 u^2

Siguin les funcions f(x) = x3 – 9x i g(x) = 7x.

• a) Estudieu els intervals de creixement i decreixement de f(x). [1,25 punts]

• b) Calculeu l’àrea de la regió del semiplà x ≥ 0 compresa entre les gràfiques de f(x) i g(x). [1,25 punts]

(a) creix en (−∞,−√3) ∪ (√3,+∞) i decreix en (−√3,√3)

(b) 64 u^2

Considereu la funció f(x) = x3 .

• a) Calculeu en quin punt del tercer quadrant la recta tangent a y = f(x) és paraŀlela a la recta 3x – y = 4. Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica en aquest punt i feu un dibuix aproximat de la gràfica de la funció i les dues rectes. [1,25 punts]

• b) Calculeu l’àrea de la regió delimitada per y = f(x) i la recta y = 3x + 2. [1,25 punts]

(a) punt (−1,−1) ; recta 𝑦 = 3𝑥+2

(b) 27/4 u^2

Siguin les funcions f(x) = x3 i g(x) = a·x2 , en què a és un nombre real positiu. 

• a) Trobeu, en funció del paràmetre a, els punts de tall entre les dues corbes y = f(x) i y = g(x) i feu un esbós de la regió limitada per les dues gràfiques. [1,25 punts]

• b) Calculeu el valor de a perquè l’àrea compresa entre y = f(x) i y = g(x) sigui 27/4 u2 . [1,25 punts]

(a) punts de tall (0,0) i (𝑎,𝑎^3)

(b)  𝑎=3

Considereu les funcions f(x) = x2  i  g(x) = 1/x , i la recta x = e. 

• a) Feu un esbós de la regió delimitada per les seves gràfiques i l’eix de les abscisses. Calculeu les coordenades del punt de tall de y = f(x) amb y = g(x). [1 punt] 

• b) Calculeu l’àrea de la regió descrita en l’apartat anterior. [1 punt]

(a) (1,1)

(b) 1/3 + 1 = 4/3 u^2

(a) n = 1 i m = -1

(b) 22/3 + 3 = 31/3 u^2

Considereu les rectes y = x i y = 2x, i la paràbola y = x2 .

• a) Calculeu els punts d’intersecció entre les gràfiques de les diferents funcions i feu un esbós de la regió delimitada per les gràfiques. [1 punt] 

• b) Calculeu l’àrea de la regió de l’apartat anterior. [1 punt]

(a) interseccions (0,0) , (1,1) , (2,4)

(b) 7/6 u^2

(b) 5/6 u^2

Siguin les funcions f(x) = x2 – 1 i g(x) = 3 – x2 . 

• a) Feu un esbós de les gràfiques de les paràboles y = f(x) i y = g(x) en un mateix sistema d’eixos cartesians i trobeu els punts de tall amb l’eix de les abscisses, els vèrtexs i els punts de tall entre les dues gràfiques. [1 punt] 

• b) Calculeu l’àrea de la regió del semiplà y ≥ 0 compresa entre les gràfiques de f(x) i g(x). [1 punt]

(b) ( 16√2 – 4 ) / 3 = 6,21 u^2

(b) √2 – 1 = 0,414 u^2

Responeu a les qüestions següents: 

• a) Comproveu que la recta tangent a la corba y = x2 en el punt d’abscissa x = 2 és la recta y = 4x – 4 i calculeu els punts d’intersecció d’aquesta recta amb els eixos de coordenades. [1 punt] 

• b) Calculeu l’àrea limitada per la corba de l’apartat anterior, la recta tangent en x = 2 i l’eix de les abscisses. [1 punt]

(a) punts d'intersecció (0,–4) i (1,0)

(b) 1/3 + 1/3 = 2/3 u^2