Vectors de l'espai

En ℝ3 es donen els punts A = (3, 1, 1), B = (0, 0, 1), C = (4, 1, 2) i D = (1, 1, t), en què t és un valor real.

• a) Per a quin valor de t els quatre punts són coplanaris? [1 punt]

• b) Trobeu el valor de t per tal que el tetraedre (irregular) que formen els quatre punts tingui un volum de 5u3. [1,5 punts]

(a) t = −1

(b) t = −31 i t = 29

Considereu els punts de l’espai tridimensional A = (1, a, 1), B = (a, 1, 2), C = (1, 1, 1) i D = (0, 0, 0), en què a és un paràmetre real.

• a) Determineu el valor del paràmetre a per al qual els punts són diferents i coplanaris (és a dir, que hi ha un pla que els conté). [1,25 punts]

• b) Per al valor a = 2, calculeu l’àrea del triangle de vèrtexs A, B i C. [1,25 punts]

(a) a = 2 (amb a=1 els punts A i C són el mateix)

(b) √2/2 u^2

Siguin P, Q i R els punts d’intersecció del pla d’equació x + 4y + 2z = 4 amb els tres eixos de coordenades OX, OY i OZ, respectivament.

• a) Calculeu els punts P, Q i R, i el perímetre del triangle de vèrtexs P, Q i R. [1 punt] 

• b) Calculeu l’àrea del triangle de vèrtexs P, Q i R. [1 punt]

(a) 𝑃=(4,0,0) , 𝑄=(0,1,0) , 𝑅=(0,0,2) , perímetre = √17+3√5 ≅ 10,83 𝑢

(b) √21 ≅ 4,58 𝑢^2