Producte mixt

13. Donats els vectors u = ( 3, –1, 4 ) , v = ( –1, 3, –2) i w = (5, 0, 2),

Solució: u x v = ( –10 , 2 , 8 ) , u x w = ( –2 , 14 , 5 ) , v x w = ( 6 , –8 , –15 )

Solució: u · ( v x w ) = –34

22. Calcula el volum del paral·lelepípede determinat pels vectors u = (1,2,3) , v = (0,−1,4) i w = (3,−2,4)

23. Calcula el volum del tetràedre determinat pels vèrtexs A(0,1,2) , B(−1,0,2) , C(2,1,0) i D(3,3,3)

En ℝ3 es donen els punts A = (3, 1, 1), B = (0, 0, 1), C = (4, 1, 2) i D = (1, 1, t), en què t és un valor real.

a) Per a quin valor de t els quatre punts són coplanaris? [1 punt]
b) Trobeu el valor de t per tal que el tetraedre (irregular) que formen els quatre punts tingui un volum de 5u3. [1,5 punts]

(a) t = −1

(b) t = −31 i t = 29

Considereu el tetraedre que té per vèrtexs els punts A = (x,0,1), B = (0,x,1), C = (3,0,0) i D = (0,x,0), amb 0 < x < 3.

a) Comproveu que el volum del tetraedre és donat per l’expressió V(x) = (1/6)·(–x2+3x) [1 punt] .
b) Determineu el valor de x que fa que el volum sigui màxim i calculeu aquest volum màxim. [1 punt]

Donats els vectors u = (2, –1, 0), v = (–1, 3, 4) i w= (0, 3a–1, 4a),

a) Calculeu els valors del paràmetre a perquè els vectors u, v i w siguin linealment dependents. [1 punt]
b) Calculeu els valors del paràmetre a perquè un tetraedre d’arestes u, v i w tingui un volum de 2/3 d’unitats cúbiques. [1 punt]