Probabilitat

Experiment (fenomen) aleatori 

és aquell el resultat del qual depèn de l’atzar (hi ha un cert grau d’incertesa en el resultat i el resultat pot variar si repetim l’experiment).

• Exemple: Llançament d’un dau.

• Exemple: Llançament d’una moneda.

• Exemple: Extracció d’una carta d’un joc de cartes.

• Exemple: Predir si demà plourà.

• Exemple: Predir si aprovarem un examen.

Espai mostral

és el conjunt de resultats possibles d’un determinat experiment aleatori. S’escriu Ω (omega).

• Exemple: Llançament d’un dau ⇒ Ω = { 1,2,3,4,5,6 }

• Exemple: Llançament d’una moneda ⇒ Ω = { cara, creu }

• Exemple: Extracció d’una de les cartes d’una baralla catalana ⇒ Ω = { 1 ors, 2 ors, ... 1 copes, 2 copes, ... }

En molts casos (no tots) els elements de l’espai mostral són equiprobables (tenen la mateixa probabilitat d’obtenir-se).

Esdeveniments

• Esdeveniment elemental és cadascun dels elements de l’espai mostral.

  • Exemple: Llançament d’un dau ⇒ “sortir 3” és un esdeveniment elemental.

• Esdeveniment compost és un conjunt d’esdeveniments elementals.

  • Exemple: Llançament d’un dau ⇒ “sortir parell” és un esdeveniment compost (format per “sortir 2”, “sortir 4” i “sortir 6”)

• Esdeveniment cert o segur és aquell que succeirà amb tota seguretat.

  • Exemple: Llançament d’un dau ⇒ “sortir més petit que 10”

• Esdeveniment impossible és aquell que, amb tota seguretat, no succeirà.

  • Exemple: Llançament d’un dau ⇒ “sortir més gran que 10”

• Esdeveniments contraris són aquells que no tenen cap element en comú i que units formen l’espai mostral ( A⋂B=∅ i A⋃B=Ω )

  • Exemple: Llançament d’un dau ⇒ “sortir parell” i “sortir senar”

• Esdeveniments incompatibles són aquells que no tenen cap element en comú ( A⋂B=∅ )

  • Exemple: Llançament d’un dau ⇒ “sortir parell” i “sortir múltiple de 5”

• Esdeveniments elementals són equiprobables quan tenen la mateixa probabilitat teòrica de succeir.

• Exemple: Llançament d’un dau.

• Exemple: Llançament d’una moneda.

• Exemple: Extracció d’una carta d’un joc de cartes.

Probabilitat

• Idea intuïtiva: És la mesura de “fins a quin punt” es pot esperar que ocorri un fet.

• La probabilitat d’un esdeveniment és un valor entre 0 i 1.

  • També es pot mesurar en percentatge, entre 0% (impossible) i 100% (segur).

  • Exemple: Llançament d’un dau ⇒ probabilitat de “sortir 2” = P(sortir 2) = 1/6 = 0,1667 = 16,67%

• Probabilitats previsibles. Són les que es produeixen en experiments “regulars”, amb expectatives clares de probabilitat.

  • Exemples: Llançament d’un dau, llançament d’una moneda, extracció d’una carta...

  • En aquests casos hi ha una distribució teòrica (o esperada) de probabilitats.

• Probabilitats imprevisibles. Són les que es produeixen en experiments “irregulars”, sense expectatives clares de probabilitat.

  • Exemples: “predir si demà plourà”, “predir la nota d’un examen”...

  • En aquests casos cal recórrer a una distribució empírica de probabilitats, obtinguda a partir de freqüències relatives.

  • Exemple: Si de 23 exàmens n’hem aprovat 17 podem dir que la nostra probabilitat d’aprovar és de 17/23 = 0,7391 = 73,91%

Llei de Laplace

En el cas d’experiments aleatoris amb esdeveniments elementals equiprobables, s'utilitza la Llei de Laplace.

• P = (casos favorables) / (casos possibles)

També es pot aplicar la Llei de Laplace en alguns experiments amb esdeveniments no-equiprobables, si podem establir-hi una proporció.

• Exemple: Extracció d’una bola d’un sac en què n’hi ha 4 de blanques i 6 de negres. Els esdeveniments “treure bola blanca” i “treure bola negra” no són equiprobables, però podem considerar cadascuna de les boles com a esdeveniment equiprobables.

• P (bola blanca) = 4 / 10 = 0,40

Propietats

• 0 ≤ P(A) ≤ 1

• P ( Ω ) = 1

• P ( ∅ ) = 0

• P ( A⋃B ) = P(A) + P(B) – P(A⋂B)

  • Exemple: Llançament d’un dau ⇒ P ( parell o més gran que 4 ) = P ( parell ) + P ( >4 ) – P ( parell i >4 ) = 3/6 + 2/6 – 1/6 = 4/6

(Cangur2010.3eso.23) Es tira un dau tres vegades. Si la tercera vegada surt un nombre igual a la suma dels anteriors, quina és la probabilitat que el 2 hagi sortit almenys una vegada?

(Cangur2020.2btx.9) Tenim dos daus. Cadascun té dues cares vermelles, dues de blaves i dues de grogues. Si tirem els dos daus a l’hora, quina és la probabilitat que surtin dues cares del mateix color? 

(Cangur2024.2btx.5) La Carlota ha manipulat un dau. La probabilitat que surti el 2, el 3, el 4 o el 5 continua sent 1/6 per a cadascun d'ells, però la probabilitat que surti el 6 és el doble de la que surti l'1. Quina és la probabilitat que surti el 6 quan llencem aquest dau manipulat?