Probabilitat

Probabilitat

• Idea intuïtiva: És la mesura de “fins a quin punt” es pot esperar que ocorri un fet.

• La probabilitat d’un esdeveniment és un valor entre 0 i 1.

  • També es pot mesurar en percentatge, entre 0% (impossible) i 100% (segur).

  • Exemple: Llançament d’un dau ⇒ probabilitat de “sortir 2” = P(sortir 2) = 1/6 = 0,1667 = 16,67%

• Probabilitats previsibles. Són les que es produeixen en experiments “regulars”, amb expectatives clares de probabilitat.

  • Exemples: Llançament d’un dau, llançament d’una moneda, extracció d’una carta...

  • En aquests casos hi ha una distribució teòrica (o esperada) de probabilitats. (LLEI DE LAPLACE)

• Probabilitats imprevisibles. Són les que es produeixen en experiments “irregulars”, sense expectatives clares de probabilitat.

  • Exemples: “predir si demà plourà”, “predir la nota d’un examen”...

  • En aquests casos cal recórrer a una distribució empírica de probabilitats, obtinguda a partir de freqüències relatives. (LLEI DELS GRANS NOMBRES)

  • Exemple: Si de 23 exàmens n’hem aprovat 17 podem dir que la nostra "probabilitat d’aprovar" és de 17/23 = 0,7391 = 73,91%

Experiment (fenomen) aleatori 

És aquell el resultat del qual depèn de l’atzar (hi ha un cert grau d’incertesa en el resultat i el resultat pot variar si repetim l’experiment).

• Exemple: Llançament d’un dau.

• Exemple: Llançament d’una moneda.

• Exemple: Extracció d’una carta d’un joc de cartes.

• Exemple: Predir si demà plourà.

• Exemple: Predir si aprovarem un examen.

• Exemple: Llançar dos daus i observar els dos resultats.

• Exemple: Llançar dos daus i sumar els dos resultats.

Espai mostral

És el conjunt de resultats possibles d’un determinat experiment aleatori. S’escriu Ω (omega).

• Exemple: Llançament d’un dau ⇒ Ω = { 1,2,3,4,5,6 }

• Exemple: Llançament d’una moneda ⇒ Ω = { cara, creu }

• Exemple: Extracció d’una de les cartes d’una baralla catalana ⇒ Ω = { 1 ors, 2 ors, ... 1 copes, 2 copes, ... }

En molts casos (no tots) els elements de l’espai mostral són equiprobables (tenen la mateixa probabilitat d’obtenir-se).

• Exemple: Llançar dos daus i observar els dos resultats.

  • • ⇒ Ω = { (1,1), (1,2), (1,3),... , (2,1), (2,2),... , (6,6) } són 36 resultats possibles, equiprobables.

• Exemple: Llançar dos daus i sumar els dos resultats.

  • • ⇒ Ω = { 2, 3, 4,... , 11, 12 } són 11 resultats possibles, NO equiprobables.

Esdeveniments (o successos)

• Esdeveniment elemental és cadascun dels elements de l’espai mostral.

  • Exemple: Llançament d’un dau ⇒ “sortir 3” és un esdeveniment elemental.

• Esdeveniment compost és un conjunt d’esdeveniments elementals.

  • Exemple: Llançament d’un dau ⇒ “sortir parell” és un esdeveniment compost (format per “sortir 2”, “sortir 4” i “sortir 6”)

• Esdeveniment cert o segur és aquell que succeirà amb tota seguretat.

  • Exemple: Llançament d’un dau ⇒ “sortir més petit que 10”

• Esdeveniment impossible és aquell que, amb tota seguretat, no succeirà.

  • Exemple: Llançament d’un dau ⇒ “sortir més gran que 10”

• Esdeveniments contraris són aquells que no tenen cap element en comú i que units formen l’espai mostral ( A⋂B=∅ i A⋃B=Ω )

  • Exemple: Llançament d’un dau ⇒ “sortir parell” i “sortir senar”

• Esdeveniments incompatibles són aquells que no tenen cap element en comú ( A⋂B=∅ )

  • Exemple: Llançament d’un dau ⇒ “sortir parell” i “sortir múltiple de 5”

• Esdeveniments elementals són equiprobables quan tenen la mateixa probabilitat teòrica de succeir.

• Exemple: Llançament d’un dau.

• Exemple: Llançament d’una moneda.

• Exemple: Extracció d’una carta d’un joc de cartes.

Llei de Laplace

En el cas d’experiments aleatoris amb esdeveniments elementals equiprobables, s'utilitza la Llei de Laplace.

• P = (# casos favorables) / (# casos possibles)

També es pot aplicar la Llei de Laplace en alguns experiments amb esdeveniments no-equiprobables, si podem establir-hi una proporció o relacionar-lo amb algun experiment amb resultats equiprobables.

• Exemple: Extracció d’una bola d’un sac en què n’hi ha 4 de blanques i 6 de negres. Els esdeveniments “treure bola blanca” i “treure bola negra” no són equiprobables, però podem considerar cadascuna de les boles com a esdeveniment equiprobables. P (bola blanca) = 4 / 10 = 0,40

• Exemple: Llançar dos daus i sumar els dos resultats. Els resultats possibles no són equiprobables, però podem considerar totes les opcions provinents de l'"experiment mare" (llançar dos daus i observar els resultats). P(sumar 4) = 3/36 = 1/12

Propietats

• 0 ≤ P(A) ≤ 1

• P ( Ω ) = 1

• P ( ∅ ) = 0

• P ( A⋃B ) = P(A) + P(B) – P(A⋂B)

  • Exemple: Llançament d’un dau ⇒ P ( parell o més gran que 4 ) = P ( parell ) + P ( >4 ) – P ( parell i >4 ) = 3/6 + 2/6 – 1/6 = 4/6

9. Calcula la probabilitat que la suma dels punts de les cares visibles d’un dau llançat a l’atzar (és a dir: la suma de totes les cares excepte la que toca a terra) sigui múltiple de 5.

10. Calcula la probabilitat que en llançar dos daus, la suma de les cares superiors sigui més gran o igual que 10.

11. Calcula la probabilitat que la suma de les puntuacions de les cares superiors de dos daus llançats a l’atzar sigui més petita que 7.

12. Llancem dos daus. Calcula la probabilitat que el producte dels dos valors sigui 12.

Solució: 4 / 36 = 1 / 9 = 0,11

13. Llancem dos daus. Calcula la probabilitat que es pugui fer la divisió entera (exacta) entre els dos valors (en un sentit o en l’altre).

Solució: 22 / 36 = 11 / 18 = 0,611

14. Escollim a l’atzar una carta d’una baralla catalana (48 cartes). Calcula la probabilitat que la carta sigui...

• a) l’as de copes.

• b) d’ors.

• c) un as.

• d) una figura (les figures són la sota, el cavall i el rei).

• e) una sota o un rei.

• f) un quatre.

• g) de copes.

• h) el quatre de copes.

• i) un quatre o una carta de copes.

• j) que no sigui ni quatre ni copes.

• k) figura i quatre.

• l) un cavall.

• m) d’espases.

• n) el cavall d’espases.

• o) un cavall o una carta d’espases.

• p) que no sigui ni cavall ni espases.

• q) figura i cavall.

• r) un cavall i carta de copes.

• s) un cavall o una carta de copes.

• t) una carta de copes que no sigui un cavall.

• u) un cavall que no sigui carta de copes.

• v) ...

15. En una loteria del nombre 1 al 1000, quina és la probabilitat que el primer premi acabi en 43 ?

16. Calcula la probabilitat que el 1r premi de la Loteria Nacional sigui...

• a) senar.

• b) acabi en 6.

• c) comenci per 0.

• d) ...

17. El sorteig extraordinari de la loteria de Nadal es fa de la següent manera: En un primer bombo hi ha boles numerades del 00000 fins al 99999 (fa uns anys era només fins al 65999). En un segon bombo hi ha les boles amb la quantia dels premis. Successivament els “Nens de St. Ildefonso” van extraient una bola de cada bombo, tot cantant el número que ha sortit i el premi atorgat. El premi més important s'anomena “la Grossa”. Calcula les probabilitats següents:

• a) Que ens toqui la Grossa si hem comprat 12 números.

• b) Que la Grossa sigui un múltiple de 7 o d’11 (nota: el 0 és múltiple de qualsevol nombre natural).

• c) Que la Grossa no sigui múltiple ni de 7 ni d’11.

• d) Que la Grossa sigui un múltiple de 13 o de 17 (nota: el 0 és múltiple de qualsevol nombre natural).

• e) Que la Grossa no sigui múltiple ni de 13 ni de 17.

• f) Que la Grossa acabi en 5 i sigui un múltiple de 4.

22. Tenim una bossa amb boles numerades de l’1 fins al 34. En traiem una a l’atzar. Calcula la probabilitat que el número de la bola sigui:

• a) Parell.

• b) Acabat en 3.

• c) Més gran que 19.

• d) Més petit que 13.

• e) Més petit que 13 i parell.

• f) Més petit que 13 o parell.

23. Tenim un sac amb boles numerades de l’1 al 37 (1, 2, 3, 4, ...). Traiem una bola a l’atzar del sac i en mirem el número. Calcula les probabilitats:

• a) que surti el 17.

• b) que surti un nombre parell.

• c) que sigui múltiple de 3 o de 5.

• d) que no sigui múltiple ni de 3 ni de 5.

24. En una urna tenim 50 boles numerades de l’1 al 50. En traiem una a l’atzar. Calcula la probabilitat que el nombre sigui...

• a) parell.

• b) acabi en 3 o 5.

• c) comenci per 4.

• d) sigui d’una xifra.

• e) ...

25. Tenim un sac amb boles numerades de l’1 al 300 (1, 2, 3, 4, ...). Traiem una bola a l’atzar del sac i en mirem el número. Calcula les probabilitats:

• a) que sigui múltiple de 3 o de 5.

• b) que no sigui múltiple ni de 3 ni de 5.

27. Tenim dues bosses amb boles blanques i boles negres. Sabem que a les dues bosses hi ha el mateix nombre de boles blanques. Respecte a les boles negres, sabem que a la primera bossa n’hi ha dues menys que de blanques i que a la segona bossa n’hi ha tres més que de blanques. Si sabem que la probabilitat de treure una bola blanca de la primera bossa és igual a la probabilitat de treure una bola negra a la segona bossa, calcula quantes boles hi ha de cada color a cada bossa.

1a bossa: 6 blanques i 4 negres  ;  2a bossa: 6 blanques i 9 negres

28. Una urna conté 4 boles blanques numerades de l’1 al 4, 6 negres numerades del 5 al 10 i 10 de vermelles numerades de l’11 al 20. Se n’extreu una a l’atzar. Calcula les probabilitats següents:

• a) que sigui vermella o blanca.

• b) que sigui negra i nombre parell.

• c) que sigui vermella i múltiple de 3.

• d) que sigui vermella o múltiple de 3.

29. L’Albert es presenta a una entrevista en resposta a un anunci de treball per a cobrir tres places d’administratiu. També s’hi han presentat 27 persones més. Si tothom tingués la mateixa probabilitat de ser escollit, quines opcions té l’Albert d’aconseguir la feina?

30. Troba la probabilitat que, en escollir un mes de l’any, aquest sigui:

• a) Un mes de 31 dies.

• b) Agost o setembre.

(Cangur2010.3eso.23) Es tira un dau tres vegades. Si la tercera vegada surt un nombre igual a la suma dels anteriors, quina és la probabilitat que el 2 hagi sortit almenys una vegada?

(Cangur2020.2btx.9) Tenim dos daus. Cadascun té dues cares vermelles, dues de blaves i dues de grogues. Si tirem els dos daus a l’hora, quina és la probabilitat que surtin dues cares del mateix color? 

(Cangur2024.2btx.5) La Carlota ha manipulat un dau. La probabilitat que surti el 2, el 3, el 4 o el 5 continua sent 1/6 per a cadascun d'ells, però la probabilitat que surti el 6 és el doble de la que surti l'1. Quina és la probabilitat que surti el 6 quan llencem aquest dau manipulat?