Sistemes d'equacions

Si en Joan va a l'escola en bus i torna caminant, el viatge dura 30 minuts. Si va i torna en bus, el viatge dura 10 minuts. Quant de temps trigarà si va i torna caminant? 

1. L’edat d’un pare és el triple de la de la seva filla i fa sis anys era quatre vegades més gran (vol dir que fa sis anys l’edat del pare era quatre vegades la de la filla). Quines edats tenen el pare i la filla ara ?

• Solució: 54 anys el pare i 18 la filla

2. L’edat d’una mare és el triple de la del seu fill. Fa quatre anys era quatre vegades més gran. Quines són les edats (actuals) de la mare i el seu fill ?

• Solució: 36 anys la mare i 12 el fill

3. L’edat d’un pare és cinc vegades la de la seva filla. Fa tres anys l’edat del pare era nou vegades la de la seva filla. Troba les edats actuals de tots dos.

• Solució: 30 anys el pare i 6 la filla

4. Fa dos anys l’edat d’un pare era nou vegades la de la seva filla i d’aquí a un any serà només cinc vegades més gran. Troba les edats actuals de tots dos.

• Solució: 29 anys el pare i 5 la filla

5. Fa dos anys, el pare de l'Agnès tenia el triple de l'edat d'ella i d'aquí a onze anys només en tindrà el doble. Quina edat tenen ara l'Agnès i el seu pare?

• Solució: L'Agnès té 15 anys i el seu pare 41.

6. Troba les edats de la Rosa i l’Eva sabent que estan en proporció de 7 és a 8, i que sumen 60 anys.

• Solució: 28 anys la Rosa i 32 anys l’Eva

7. Les edats de dues persones són actualment com 3 és a 2 i fa cinc anys eren com 5 és a 3. Quina edat té cadascuna ?

• Solució: 30 anys i 20 anys

8. L’Anna li diu al Bernat: Fa set anys la meva edat era cinc vegades més gran que la teva, però ara només és el triple. Quines són les seves edats ?

• Solució: 42 anys l’Anna i 14 anys el Bernat

1. Dos quilos de peres i tres de pomes costen 7,80 €. Cinc quilos de peres i quatre de pomes costen 13,20 €. A quant va el quilo de peres ? I el de pomes ?

• Solució: 1,20 €/kg les peres i 1,80 €/kg les pomes

2. Si una pilota i una samarreta costen 5 €, i tres pilotes i dues samarretes costen 12 €, quants euros costa una pilota? 

3. He comprat una samarreta i una bossa de patates. En total he pagat 11 euros. La samarreta valia 10 euros més que la bossa de patates. Quant m’ha costat cada cosa?

3. Dues persones tenen 25 euros en total. Una d’elles té 7 euros més que l’altra. Quant té cadascuna ?

4. Un pare dóna al seu fill 0,90 euros per cada examen aprovat, però li’n pren 0,15 per cada examen suspès. Després de 72 exàmens el fill rep 52,20 euros. Quants exàmens ha aprovat ?

• Solució: ha aprovat 60 exàmens de 72

5.  En una bossa hi ha 16 monedes amb un valor de 1,85 euros. Són de 5 cèntims i de 20. Quantes monedes hi ha de cada classe ?

• Solució: 9 monedes de 5 cèntims i 7 monedes de 20 cèntims

6. L’Alfred té 12 euros en monedes de 2 euros i d’1 euro. En té el doble d’1 que de 2. Quantes monedes té de cada valor ?

• Solució: 3 monedes de 2 euros i 6 monedes d’1 euro

7. La Fina té monedes de 20 cèntims a la butxaca esquerra, i de 50 cèntims a la dreta. En total té 9 monedes, i entre totes tenen un valor de 3 €. Quantes monedes té de cada valor ?

• Solució: 5 monedes de 20 cèntims i 4 monedes de 50 cèntims

8. He pagat un article de 3 € amb 9 monedes, unes de 20 cèntims i altres de 50 cèntims. Quantes monedes he donat de cada classe ?

• Solució: 5 monedes de 20 cèntims i 4 monedes de 50 cèntims

9. En un bar es venen entrepans de pernil a  3,50 €  i de xoriço a  2 €. En un matí s’han venut  52  entrepans i la recaptació final ha estat de  149 €. Quants se n’han venut de cada classe ?

• Solució: 30 entrepans de pernil i 22 entrepans de xoriço

10. Un comerciant compra conills a 0,50 € cadascun i coloms a 0,20 € cadascun. Paga en total 4,50 €. Dies després se li moren 2 conills i 5 coloms. Llavors calcula que si ven cada colom 5 cèntims més car i cada conill 10 cèntims més car del preu que li van costar, només perdria 1,45 €. Quants conills i quants coloms va comprar ?

• Solució: 5 conills i 10 coloms

1. He pagat 90,50 € per una camisa i un jersei que costaven, entre els dos, 110 €. De la camisa m’han rebaixat un 20 % i del jersei un 15 %. Quin era el preu de cada article abans de la rebaixa ?

• Solució: 60 € la camisa i 50 € el jersei

2. Una persona compra un equip de música i un ordinador per 2.500 € i els ven, després de cert temps, per 2.157,50 €. Amb l’equip de música va perdre el 10 % del seu valor i amb l’ordinador, el 15 %. Quant li va costar cada un ?

• Solució: 650 € l’equip de música i 1.850 € l’ordinador

3. La classificació d’una oposició s’obté mitjançant dos exàmens: un d’escrit, que és el 65 % de la nota final, i un altre d’oral, que és el 35 %. Si una persona va tenir 12 punts entre els dos exàmens i va obtenir un 5,7 de nota final, quina nota va tenir en cada un ?

• Solució: 5 punts en l’escrit i 7 en l’oral

4. En Jordi té en el banc 125.000 €. Una part d’aquests diners està en un compte en què li donen l’11 % d’interès anual. La resta els té en un altre compte al 9 % anual. Calcula aquestes dues quantitats sabent que a final d’any va cobrar 12.950 € d’interessos.

• Solució: 85.000 € a l’11 % i 40.000 al 9 %

5. Un inversor, que té 28.000 €, col·loca part del seu capital en un banc al 8 %, i la resta en un altre banc al 6 %. Si la primera part li produeix anualment 200 € més que la segona, quant ha col·locat a cada banc ?

• Solució: 13.428,57 € al 8 % i 14.571,43 al 6 %

1. El perímetre d’un triangle isòsceles és de 17,5 cm, i la longitud dels costats iguals és el doble que la longitud del costat desigual. Quina és la longitud de cada costat?

• Solució: 7 cm cadascun dels costats iguals, i 3,5 cm l’altre

2. Les dimensions d’un rectangle difereixen en 7 unitats. Si sabem que el perímetre és de 28 unitats, troba les dimensions del rectangle.

• Solució: 10,5 unitats i 3,5 unitats

3. Un joc de construcció està format per peces triangulars i quadrades. En total hi ha 40 peces entre triangles i quadrats. Si sabem que hi ha 146 costats en total, calcula quants triangles i quants quadrats hi ha.

• Solució: 14 triangles i 26 quadrats

4. En un triangle rectangle, un dels angles aguts és 18º més gran que l’altre. Calcula la mesura dels angles del triangle.

• Solució: 54º i 36º

5. Troba l’amplitud dels angles aguts d’un triangle rectangle sabent que són entre ells com 2 és a 7.

• Solució: 20º i 70º

Cada dia, en Pere i la Sabina, cadascú pel seu cantó, fan un passeig d'un quilòmetre en un jardí rectangular.

En Pere recorre 25 vegades el costat més llarg del rectangle; en canvi, la Sabina dóna 10 voltes completes al jardí.

Quina és la superfície del jardí per on passegen en Pere i la Sabina, expressada en m2? 

1. Sabem que tres pomes i una mandarina pesen 850 g, i que una poma i sis mandarines també pesen 850 g. Quant pesa cada poma ? Quant pesa cada mandarina ?

• Solució: poma 250 g, mandarina 100 g

2. En Marcel i la Núria tenen entre tots dos 200 segells. La Núria té 40 segells més que en Marcel. Quants segells té cadascun?

• Solució: Núria 120, Marcel 80

3. En una classe de 29 alumnes es fan grups de 3 i de 4 alumnes. Si en total se’n fan 8, quants grups hi ha de cada tipus?

• Solució: 5 grups de 4 alumnes i 3 grups de 3 alumnes

4. Després de tretze jornades de lliga, un equip de futbol no ha perdut encara cap partit i té 31 punts. Sabent que per cada victòria es guanyen tres punts i per cada empat un, quants partit ha guanyat i quants n’ha empatat?

• Solució: 9 victòries i 4 empats

5. En un concurs de llançaments de bàsquet s’atorguen 5 punts per cada encert i es resten 2 punts per cada errada. Si després de 25 tirs s’obtenen 76 punts, quants bàsquets s’han fet ?

• Solució: 18 bàsquets i 7 errades

6. En una pastisseria fan capses de 12 i de 24 bombons. Si un dia han fet 396 bombons i els han col·locat en 25 capses, quantes capses han fet de cada tipus?

• Solució: 17 capses de 12 bombons i 8 capses de 24 bombons

7. En una granja hi ha 30 animals entre conills i gallines. Si sabem que hi ha 80 potes en total, calcula quants conills i quantes gallines hi ha.

• Solució: 10 conills i 20 gallines

8. En una granja, entre gallines i conills hi ha 530 potes i 195 caps. Quants animals hi ha de cada espècie?

• Solució: 125 gallines i 70 conills

9. En un pàrquing hi ha 30 vehicles entre cotxes i motocicletes. Si sabem que hi ha 112 rodes en total (sense comptar les de recanvi), calcula quants cotxes i quantes motocicletes hi ha.

• Solució: 26 cotxes i 4 motos

10. Un professor dóna dos punts positius als alumnes per cada problema que resolguin bé però els en treu un per cada problema que no resolguin correctament (o no facin). Després de 12 problemes, un alumne té 12 punts positius. Quants problemes va resoldre correctament ?

• Solució: 8 respostes correctes i 4 incorrectes

11. En un examen tipus test de 30 preguntes, per cada resposta correcta se suma un punt i per cada resposta incorrecta se’n resten 0,25. Si una persona ha tret 16,25 punts, quantes respostes ha encertat i quantes n’ha fallat?

• Solució: 19 respostes correctes i 11 incorrectes

12. En un examen de 20 preguntes et donen dos punts per cada encert i et treuen mig punt per cada errada. Per aprovar és obligatori contestar totes les preguntes i cal obtenir-hi, almenys, 20 punts. Quantes preguntes cal contestar correctament per aprovar ?

• Solució: calen 12 respostes correctes

13. La nota mitjana dels aprovats en un examen de matemàtiques va ser 6,5 i la dels suspensos, 3,2. A la classe són 30 alumnes i la nota mitjana global va ser 5,29. Quants van aprovar i quants van suspendre ?

• Solució: 19 aprovats i 11 suspesos

14. Preguntant a una família quants fills són, el fill gran ens diu que ell té tantes germanes com germans, i la filla gran ens diu que ella té el doble de germans que de germanes. Quants fills i quantes filles són ?

• Solució: 4 fills i 3 filles

15. La Isabel té monedes a les dues mans. Si en passa dues de la dreta a l’esquerra, tindrà el mateix nombre de monedes en totes dues mans. Si en passa 3 de l’esquerra a la dreta, en aquesta hi tindrà el doble de monedes que en l’altra. Quantes monedes té a cada mà?

• Solució: A la mà esquerra té 13 monedes i a la dreta 17

16. Una empresa fabrica dos tipus de bicicletes, “A” i “B”. Per fabricar-ne una del model “A” es necessiten 1 Kg d’acer i 3 Kg d’alumini, i per fabricar-ne una del model “B”, 2 Kg de cadascun d’aquests materials. Si l’empresa disposa de 80 Kg d’acer i 120 Kg d’alumini, quantes bicicletes de cada tipus pot fabricar?

• Solució: 20 bicicletes del tipus “A” i 30 bicicletes del tipus “B”

L'àvia diu al conjunt dels seus néts i nétes:

“Vull fer pastissos per a vosaltres i ja he preparat la pasta. Si en faig dos per a cadascú, em sobrarà pasta per a tres pastissos més, però no puc fer tres pastissos per a cadascú: em faltaria pasta per a dos pastissos”.

Quants néts i nétes, en conjunt, té l'àvia? 

Uns quants extraterrestres viatgen per l'espai en la seva nau STAR2006.

Hi ha extraterrestres de tres colors diferents: verd, taronja o blau.

Els extraterrestres de color verd tenen dos tentacles; els de color taronja, tres, i els de color blau, cinc.

A la nau hi ha tants extraterrestres de color verd com de color taronja, i de blaus n'hi ha deu més que de verds.

Entre tots tenen 250 tentacles.

Quants extraterrestres blaus hi ha a la nau STAR2006?

En una habitació hi ha gats i gossos.

El nombre de potes dels gats és el doble que el nombre de nassos dels gossos.

Aleshores el nombre de gats és:

• A) La meitat del nombre de gossos

• B) Igual al nombre de gossos

• C) El doble del nombre de gossos

• D) 1/4 del nombre de gossos

• E) Quatre vegades el nombre de gossos 

La Nora és 5 cm més alta que en Rai, però 10 cm més baixa que la Berta. En Pol és 10 cm més alt que la Berta, però 5 cm més baix que la Júlia. Quina de les frases següents és certa?

• En Rai és 30 cm més alt que la Júlia.

• En Rai és 10 cm més alt que la Júlia.

• En Rai és 20 cm més baix que la Júlia.

• En Rai és 10 cm més baix que la Júlia.

• En Rai és 30 cm més baix que la Júlia.

Una gerra d’aigua plena fins a una cinquena part de la seva capacitat pesa 560 g. La mateixa gerra plena fins a les quatre cinquenes parts pesa 740 g. Quant pesa la gerra buida?

L’Ernest fa una prova tipus test que té 20 preguntes. Cada resposta correcta suma 7 punts, cada resposta errònia resta 4 punts i les preguntes deixades en blanc valen 0 punts. Quantes preguntes ha deixat en blanc l'Ernest, si ha obtingut una puntuació de 100 punts?

1. Troba un nombre de dues xifres sabent que la suma d’aquestes és 10 i que el doble del nombre que s’obté en invertir les xifres supera en una unitat el nombre inicial. (Idea: Qualsevol nombre de dues xifres es pot escriure com  10x+y, on  x  és la xifra de les desenes i  y  la xifra de les unitats)

• Solució: 73

2. Les dues xifres d’un nombre sumen 10. Si s’inverteix l’ordre de les xifres, s’obté un altre nombre 54 unitats menor. Quin és el nombre ?

• Solució: 82

3. Troba un nombre de dues xifres, la suma de les quals sigui 10 i sabent que el doble d'aquest nombre excedeix en una unitat el nombre obtingut invertint les seves xifres.

• Solució: El nombre és el 37

4. En un nombre de dues xifres, les desenes són el triple de les unitats. Si s’inverteix l’ordre de les xifres, s’obté un altre nombre 54 unitats menor. Calcula el nombre inicial.

• Solució: El nombre és el 93

1. Dos cotxes de línia surten simultàniament des de dues ciutats que estan separades per una distància de 600 km. Si un porta una velocitat de 56 km/h i l'altre circula a 64 km/h, al cap de quant de temps i a quina distància de les dues ciutats es trobaran?

• Solució: Es trobaran a 280 km de la ciutat d'on ha sortit el cotxe més lent i al cap de 5 hores

2. Un automòbil va de A a B a 60 km/h i torna de B a A a 40 km/h. Entre l’anada i la tornada ha tardat 3 h 45 min. Calcula la distància entre A i B.

• Solució: 90 km

3. Per fer un recorregut de 146 km amb bicicleta, un ciclista ha tardat tres hores i mitja. Durant les dues primeres hores era encara de dia, però la resta ho va fer de nit. La velocitat a què anava de nit va ser 10 km/h inferior a la que anava de dia. Calcula les dues velocitats.

• Solució: 46 km/h de dia i 36 km/h de nit

4. Dos avions surten a la mateixa hora, en sentits oposats, des de dues ciutats que es troben a 5325 km l’una de l’altra. Volen a 680 km/h i a 740 km/h. Quant tardaran a creuar-se ? A quina distància estaran aleshores de cada ciutat ?

• Solució: 3h 45 min , a 2550 km de la ciutat origen de l’avió que vola a 680 km/h , a 2775 km de la ciutat origen de l’avió que vola a 740 km/h

5. Amb un quart d’hora de diferència surten dos cotxes tot fent el mateix trajecte però en sentit contrari. El que ha sortit primer va a 75 km/h i el segon a 90 km/h. Quant trigaran a trobar-se si el trajecte és de 60 km ? A quina distància estaran de cada origen de trajecte ?

• Solució: 30 min , a 37,5 km de la ciutat origen del cotxe que va a 75 km/h , a 22,5 km de la ciutat origen del cotxe que va a 90 km/h

6. Un cotxe surt de A cap a B a una velocitat de 100 km/h. A la mateixa hora surt un altre cotxe de B cap a A a una velocitat de 80 km/h. Si la distància entre A i B és de 90 km, quant tarden a creuar-se ? A quina distància d’A es creuen ?

• Solució: 30 minuts , a 50 km d’A

7. Un ciclista va per una carretera a 20 km/h. Quan s’ha allunyat 30 km, surt una moto a trobar-lo, a 50 km/h. Quant tardaran a trobar-se ?

• Solució: 1 hora

8. Un cotxe surt de A a una velocitat de 80 km/h. Una hora més tard surt un altre cotxe fent el mateix trajecte a 100 km/h. Quant tarda el segon cotxe en atrapar el primer ? A quina distància d’A es troben ?

• Solució: 4 hores , 400 km

9. A les 8 del matí surt un tren de l’estació A, a 90 km/h, amb destinació l’estació B, situada a 400 km. A la mateixa hora surt, en sentit contrari, un tren de l’estació B. Si aquest darrer tren va a 70 km/h, a quina hora s’encreuen ? A quina distància d’A es produeix la trobada ?

• Solució: a les 10:30 , a 225 km d’A

10. Un automòbil va de A a B a 60 km/h i torna de B a A a 40 km/h. Entre l’anada i la tornada ha tardat 3 h 45 min. Calcula la distància entre A i B.

• Solució: 90 km

1. S’han comprat 36 Kg de sucre de dues classes diferents. La primera a 0,22 € el Kg i la segona a 0,30 € el Kg. Si sabem que en total s’han pagat 8,96 €, quants Kg s’han comprat de cada classe ?

• Solució: 23 Kg de sucre de 0,22 € i 13 Kg de sucre de 0,30 €

2. Un líquid “A” pesa 3,2 g per cm3. Un altre líquid “B” pesa 4,3 g per cm3. Quants grams hi ha de cada substància en una barreja de 13 cm3 que pesa un total de 50,4 g ?

• Solució: 5 cm3 de A i 8 cm3 de B 🡪 16 g de A i 34,4 g de B

3. Amb dos tipus de vernís, de  3,50 € / Kg  i de  1,50 € / Kg  volem obtenir un vernís de  2,22 € / Kg. Quants quilos hem de posar de cada classe per obtenir  50 Kg de barreja?

• Solució: 18 kg de vernís de 3,50 €/kg i 32 kg de vernís de 1,50 €/kg

4. En barrejar dos líquids, obtenim un volum de 6 litres i una densitat de la barreja de 1,1 gr/cm3. Calcula el volum de cadascun dels dos líquids barrejats, sabent que les seves densitats són 0,7 gr/cm3 i 1,3 gr/cm3, respectivament.  

• Solució: El volum dels dos líquids barrejats és 4 litres i 2 litres, respectivament

5. En una cafeteria utilitzen dues marques de cafè, una de 6 €/kg i una altra de 8,50 €/kg. L’encarregat vol preparar 20 kg d’una barreja dels dos cafès el preu de la qual sigui de 7 €/kg. Quant n’ha de posar de cada classe ?

• Solució: 12 kg del cafè a 6 €/kg i 8 kg del cafè a 8,50 €/kg

6. Quants litres de llet amb un 10 % de greix hem de barrejar amb una altra llet que té un 4 % de greix per obtenir 18 litres amb un 6 % de greix ?

• Solució: 6 L de llet amb 10 % de greix i 12 L de llet amb 4 % de greix

7. Una cadena de supermercats ha encarregat la fabricació d’un detergent que comercialitzaran sota la marca pròpia de la cadena. El fabricant haurà de barrejar dos detergents de preus 1,85 €/kg i 1,35 €/kg. Si el supermercat vol vendre aquest nou producte a 1,55 €/kg, quines quantitats de cada tipus de detergent haurà de barrejar el fabricant per als paquets de 5 kg ?

• Solució: 2 kg de detergent de 1,85 €/kg i 3 kg de 1,35 €/kg