Matrius i sistemes d'equacions lineals

Volem allotjar 10 persones en un hotel que té habitacions individuals, dobles i triples. Sabem que si reservem sis habitacions individuals i dues de dobles, hem de pagar 702 €, i si en reservem una d’individual i tres de triples, hem de pagar el mateix que si en reservem dues de dobles i dues de triples.

• a) Determineu els preus de l’habitació doble i de la triple en funció del preu de la individual. [1,25 punts]

• b) Si el preu de l’habitació triple és el doble del preu de la individual, quin és el preu de cada tipus d’habitació? De les tres opcions plantejades per a allotjar les 10 persones, amb quina obtenim el preu més baix i quin és aquest preu? [1,25 punts]

(a) habitació individual x ; habitació doble 351−3x ; habitació triple 702−7x

(b1) individual x = 78 € ; habitació doble y = 117 € ; habitació triple z = 156 €.

(b2) el preu mínim per allotjar les 10 persones és de 546 euros, i l’obtenim tant si reservem una habitació individual i tres de triples com si reservem dues habitacions dobles i dues de triples.

Al Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM), que se celebrarà a Lleida el proper mes de juliol, hi assistiran docents d’universitat, d’educació secundària i d’educació infantil i primària. A hores d’ara, un 10 % dels docents inscrits són d’universitat, un 50 % són de secundària i la resta són d’infantil i primària. D’altra banda, un 40 % dels docents inscrits d’universitat, un 52 % dels docents inscrits de secundària i un 65 % dels docents inscrits d’infantil i primària són dones.

• opció A (b) Calculeu el nombre de docents que s’han inscrit al Congrés de cada nivell educatiu si sabem que en total hi ha 476 dones inscrites. [1,25 punts]

(b) hi ha 85 docents universitaris, 425 de secundària i 340 d’infantil i primària

Una botiga en línia tenia a la venda tres tipus de productes, que anomenarem A, B i C. L’Ares va comprar un producte de cada abans de les vacances de Nadal i va pagar 135 €. A les rebaixes de gener, la botiga va rebaixar l’article A un 4 %, l’article B un 6 % i l’article C un 5 % respecte al preu inicial. En veure-ho, l’Ares va decidir comprar un producte de tipus A, dos de tipus B i tres de tipus C, i va calcular que s’havia estalviat 16 € respecte del cost total de la mateixa compra sense oferta. Dues setmanes després, van començar les segones rebaixes i la botiga va rebaixar l’article A un 8 %, l’article B un 10 % i l’article C un 6 % respecte al preu inicial d’abans de Nadal. En veure-ho, l’Ares no se’n va poder estar i va fer una tercera compra. Aquest cop va adquirir tres productes de tipus A, un de tipus B i cinc de tipus C, i va calcular que s’havia estalviat 29 € respecte al preu total de la mateixa compra si l’hagués feta abans de les vacances de Nadal.

• a) Plantegeu un sistema d’equacions lineals que reculli la informació del problema. [0,75 punts]

• b) Calculeu el preu de cada article abans de les vacances de Nadal. [1,75 punts]

A 25 € , B 50 € , C 60 €

Una fàbrica es dedica a elaborar pasta. Tot el procés de producció es pot resumir en tres etapes:

1. Compra de matèries primeres. Per a elaborar la pasta, l’empresa ha de comprar oli, farina i sal de bona qualitat. La compra la pot fer a tres proveïdors diferents. El primer proveïdor ven l’oli a 3 €/L, la farina a 0,6 €/kg i la sal a 1 €/kg. El segon proveïdor ven l’oli a 3,5 €/L, la farina a 1 €/kg i la sal a 0,7 €/kg. Finalment, el tercer proveïdor ven l’oli a 2,5 €/L, la farina a 0,8 €/kg i la sal a 0,9 €/kg.

2. Elaboració, empaquetament i control de qualitat. Es fabrica i s’envasa la pasta. Posteriorment, es comprova que la pasta estigui ben feta i envasada correctament, i es verifica que els paquets pesin 500 g de mitjana.

3. Venda. L’estratègia de venda i el preu dels paquets es determinen fent un estudi de mercat.

• opció B (a) L’empresa ha fet una gran comanda al primer proveïdor i s’ha gastat 1.320 €. Ha comprat el triple de farina que de sal. A més, la quantitat gastada en farina representa el 30 % dels diners gastats en oli. Quina quantitat de cada producte ha comprat? [1,25 punts]

(Ba) 300 litres d’oli, 450 kg de farina i 150 kg de sal

El nou model de maletes Rodamons disposa de tres mides diferents: petita, mitjana i gran. El preu de la maleta gran és el mateix que el de la maleta petita i la mitjana juntes. El lot d’una maleta de cada mida costa 240 €, però si es compra el lot de dues maletes petites, una de mitjana i una de gran, s’obté un 10 % de descompte del total i el preu final és de 256,5 €. Quin és el preu de cada tipus de maleta sense descompte? [2,5 punts] 

maleta petita 45 euros, maleta mitjana 75 euros, maleta gran 120 euros 

Una inversora vol invertir el seu capital en un banc especialitzat en criptomonedes que ofereix diferents dipòsits amb els interessos següents: 

— BTC (bitcoin): 15 % anual. 

— ETH (ether): 10 % anual. 

— LNK (link): 13 % anual. 

La inversora vol invertir la mateixa quantitat en bitcoins que entre les altres dues criptomonedes juntes i vol obtenir un rendiment anual global d’un 13 %.

• a) Quina ha de ser la relació entre la inversió en ethers i en links? [1,25 punts] 

• b) Si sabem que la inversió total serà de 150.000 €, quina quantitat invertirà en cada criptomoneda? [1,25 punts] 

(a) la inversió en ETH ha de ser el doble que en LNK

(b) 75000 € en BTC, 50000 € en ETH i 25000 € en LNK

Una empresa de mobles disposa de tres fàbriques que produeixen un model de sofà determinat. El mes passat es van fabricar un total de 1.260 unitats d’aquest model i sabem que la segona fàbrica va produir tants sofàs com les altres dues juntes.

• a) Amb aquesta informació, podem determinar quants sofàs va produir cadascuna de les fàbriques? Justifiqueu la resposta. A continuació, calculeu, només amb aquesta informació, quants sofàs va produir la segona fàbrica. [1,25 punts]

• b) També sabem que un 10 % dels sofàs produïts per la primera fàbrica, un 30 % dels produïts per la segona i un 20 % dels produïts per la tercera eren de color gris, i que en total es van fabricar 284 sofàs d’aquest color. Trobeu quants sofàs va produir cada fàbrica el mes passat. [1,25 punts]

(a) 2a fàbrica, 630 sofàs

(b) 310, 630, 320

L’empresa d’esports aquàtics DiverAqua ofereix tres tipus d’activitats: esquí aquàtic, caiac i moto aquàtica. El preu per sessió i client de cadascuna d’aquestes activitats és de 40 € per l’esquí aquàtic, 20 € pel caiac i 60 € per la moto aquàtica. Sabem que avui DiverAqua ha venut 45 sessions en total. També sabem que el nombre de clients que han escollit esquí aquàtic és el triple dels que han escollit una sessió de caiac. La recaptació total del dia ha estat de 1.700 €.

• a) Plantegeu un sistema d’equacions lineals que reculli tota aquesta informació. [1 punt]

• b) Quantes persones han dut a terme cadascuna de les tres activitats? [1,5 punts]

(b) 30 persones esquí aquàtic, 10 caiac, 5 moto aquàtica

En Robert ha fet tres proves d’una assignatura. Fent la mitjana aritmètica de les notes obtingudes en cadascuna de les tres proves li ha quedat una nota global de 6. En Robert sap que la nota de la tercera prova ha estat igual que la mitjana aritmètica de les notes de les altres dues proves.

• a) Amb aquesta informació, pot saber alguna de les tres notes? En cas afirmatiu, de quina prova i quina seria la nota obtinguda? [1,25 punts]

• b) La professora li diu que ha estat molt irregular i que si només es tinguessin en compte les notes de les dues darreres proves hauria obtingut una mitjana de 7. Quina nota ha obtingut en cada prova? [1,25 punts]

(a) la nota de la tercera prova ha estat un 6

(b) ha obtingut un 4 a la primera prova, un 8 a la segona i un 6 a la tercera

Una empresa distribueix dos tipus de paquets a les farmàcies (A i B). El paquet de tipus A conté els productes següents: 5 termòmetres digitals per infrarojos, 30 mascaretes i 10 tests ràpids d’antígens. El paquet de tipus B conté 1 termòmetre digital per infrarojos, 15 mascaretes i 20 tests ràpids d’antígens. El preu del paquet de tipus A és de 550 € i el del paquet de tipus B és de 200 €. El preu de cada producte és el mateix en els dos tipus de paquets.

• a) Amb les dades de l’enunciat, és possible trobar el preu d’un termòmetre, el d’una mascareta i el d’un test d’antígens? Justifiqueu la resposta plantejant i classificant un sistema d’equacions. Resoleu el sistema deixant la solució en funció del preu del test d’antígens. [1,75 punts]

• b) Si un test d’antígens costa 4 €, quin serà el preu d’una mascareta? I el d’un termòmetre? [0,75 punts]

(a) x = 50+10m ; y = 10-2m ; z = m

(b) el termòmetre té un preu de 90 € i la mascareta val 2 €

A l’institut d’en Martí han elaborat tres tipus diferents de rams de roses per a vendre el dia de Sant Jordi. L’opció clàssica consisteix en una rosa i una espiga. L’opció de ram petit està formada per tres roses i dues espigues. I, finalment, l’opció de ram gran consisteix en mitja dotzena de roses i tres espigues. Tots els rams (siguin de l’opció que siguin) porten un bonic embolcall. Sabem que s’han utilitzat 200 roses, 135 espigues i 85 embolcalls.

• a) Quants rams s’han elaborat de cada tipus? [1,75 punts]

• b) Si el preu de venda d’un ram de l’opció clàssica és de 3 euros, el d’un ram petit és de 5 euros i el d’un ram gran és de 10 euros, quants diners s’ingressaran si es venen tots? [0,75 punts]

(a) 50 unitats de l’opció clàssica, 20 rams petits i 15 rams grans

(b) 400 €

En Martí explica a en Marcel que l’altre dia, quan va agafar l’autocar per anar de Barcelona a Tarragona, l’autocar es va espatllar just a la meitat del trajecte. Des d’aquest punt va anar caminant fins a la població més propera, de manera que va fer a peu una vintena part del total del trajecte. Allà va agafar un taxi fins a Tarragona, i diu que va fer 5 quilòmetres més en autocar que en taxi.

• a) Plantegeu i resoleu un sistema d’equacions per a calcular quants quilòmetres va fer en Martí en autocar, a peu i en taxi. [1,75 punts] 

• b) Si l’autocar anava a 100 km/h, en Martí va caminar a 5 km/h i el taxi anava a 90 km/h, quant temps va tardar a fer tot el trajecte? [0,75 punts] 

(a) 50 km en autocar, 5 km a peu i 45 km en taxi.

(b) 2 hores

Una capsa conté 40 monedes, que són de 50 cèntims, d’1 € i de 2 €. Sabem que el nombre de monedes de 50 cèntims que hi ha és el doble que el de monedes de 2 €.

• a) Podem saber el nombre de monedes que hi ha de cada tipus? En cas afirmatiu, calculeu-lo. En cas negatiu, doneu la solució en funció d’un paràmetre. [1,25 punts]

• b) Esbrineu si es pot calcular el valor total, en euros, de les monedes de la capsa. En cas afirmatiu, calculeu-lo. [1,25 punts]

(a) x = 2m , y = 40-3m , z = m

(b) 40 €

Una empresa de productes lactis va ingressar l’any passat un total d’1.800.000 € per les vendes de formatges. Les exportacions a la Unió Europea van aportar tants ingressos com les vendes en l’àmbit estatal i les exportacions a països extracomunitaris juntes. Aquest any l’empresa ha ingressat 1.950.000 € i sabem que les vendes estatals han disminuït un 5 %, les exportacions a la Unió Europea han augmentat un 15 % i les exportacions a països extracomunitaris han augmentat un 10 %. Determineu les quantitats que va ingressar per cada concepte (vendes en l’àmbit estatal, exportacions a la Unió Europea i exportacions a països extracomunitaris) l’any passat, i també les quantitats que ha ingressat aquest any. [2,5 punts]

L'any passat x = 500.000 ; y = 900.000 ; z = 400.000

Aquest any 475.000 , 1.035.000 ,440.000

En una festa familiar s’han reunit 20 persones. Si comptem el total d’homes i dones junts, observem que n’hi ha el triple que de nens. A més, sabem que, si hi hagués assistit una dona més, el nombre de dones hauria estat igual que el nombre d’homes.

• a) Plantegeu un sistema d’equacions per a esbrinar quants homes, quantes dones i quants nens van assistir a la festa. [0,75 punts]

• b) Resoleu el sistema de l’apartat anterior i interpreteu-ne el resultat. [1,75 punts]

8 homes, 7 dones i 5 nens

La Filomena fa una festa i convida els amics a menjar un pastís. Ha anat a la botiga i ha comprat una dotzena d’ous, una bossa de farina d’ametlla i un paquet de sucre morè. La festa ha estat un èxit i decideix repetir la trobada i tornar a fer el pastís. Torna a la botiga i compra una altra dotzena d’ous i dues bosses de farina d’ametlla. Però un cop a casa s’adona que no té gens de sucre. Torna a la botiga i compra un paquet de sucre morè i també una altra dotzena d’ous. La primera compra li va costar 6 €, la segona 6,5 € i la darrera 3,5 €.

• a) Plantegeu un sistema d’equacions amb les dades del problema. [0,75 punts]

• b) Calculeu el preu d’una dotzena d’ous, el d’una bossa de farina d’ametlla i el d’un paquet de sucre morè. [1,75 punts]

dotzena d’ous 1,50 €, bossa de farina d’ametlla 2,50 € i paquet de sucre morè 2 €

(b) t = −3