Representació gràfica de funcions

Considereu la funció f(x)

• a) Indiqueu el domini d’aquesta funció i els talls de la corba y = f(x) amb els eixos de coordenades. [0,5 punts]

• b) Resoleu l’equació f′(x) = 0 i estudieu les zones de creixement i decreixement de la funció f(x), així com els seus màxims i mínims locals. [1 punt]

• c) Trobeu quin ha de ser el valor de a per tal que el punt (a,3) pertanyi a la gràfica de la funció i calculeu l’equació de la recta tangent a la corba y = f(x) en aquest punt. [1 punt]

(a) (−1,0) , (0,1)

(b) x=0 , no té cap màxim ni mínim locals

(c) a=2 , y=2x−1

Considereu la funció f(x).

• a) Determineu els talls de la corba y = f(x) amb els eixos de coordenades, i les equacions de les seves possibles asímptotes verticals, horitzontals i obliqües. [1 punt]

• b) Calculeu les equacions de les rectes tangents a la corba y = f(x) en els punts x = 0 i x = 2. Aquestes dues rectes són paral·leles? Justifiqueu la resposta. [1 punt]

• c) Hi ha algun punt on la recta tangent a f(x) tingui pendent 1? En cas afirmatiu, trobeu-lo. [0,5 punts]

(a) (0,0), (2,0) ; AV x=1 ; AO y=x-1

(b) y = 2x en x=0 ; y = 2x-4 en x=2

(c) no hi ha cap punt on la recta tangent tingui pendent 1

Considereu la funció f(x), definida per a x > 0.

• a) Estudieu-ne els màxims i els mínims, i les zones de creixement i de decreixement. [1 punt]

• b) Aquesta funció té asímptotes? Feu un esbós de la seva gràfica. [1 punt]

• c) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de y = f(x) en el punt d’abscissa x = 1. [0,5 punts]

(a) màxim en x=e ; creixent a l’interval (0, e) ; decreixent a (e, +∞)

(b) AV en x=0 ; AH en y=0

(c) y = 2x − 2

Considereu la funció f(x).

• a) Determineu el domini, les possibles asímptotes, els extrems relatius i els intervals de creixement i decreixement de la funció. [1,25 punts]

• b) Calculeu l’equació general de la recta tangent a la funció f(x) en el punt d’abscissa x = 4. Representeu en un mateix gràfic la funció f(x) i la recta tangent. [1,25 punts]

(a) Dom(f) = R–{–2,1} ; creixent (−∞,−2) ∪ (−2,−1/2 )

màxim en x = –1/2

decreixent (−1/2,1) ∪ (1, +∞)

(b) y = –1/4 x + 3/2

Sigui la funció f(x) definida en el domini x > 0, en què ln és el logaritme neperià.

• a) Trobeu les coordenades d’un punt de la corba y = f(x) en el qual la recta tangent a la corba sigui horitzontal i analitzeu si la funció té un extrem relatiu en aquest punt. [1 punt]

• b) Determineu si la funció f(x) té alguna asímptota horitzontal. [0,5 punts]

• c) Calculeu l’àrea de la regió delimitada per la corba y = f(x) i les rectes x = 1 i x = e. Feu un dibuix aproximat de la gràfica de la funció en el domini 0 < x < 5, en què quedi representada l’àrea que heu calculat. [1 punt]

(a) punt (e,1/e), màxim relatiu

(b) AH y=0

(c) 1/2 u^2

Considereu la funció f(x), en què a i b són dos paràmetres reals. Calculeu els  valors de a i b de manera que la funció f(x) tingui una asímptota obliqua de pendent 1 i un mínim en el punt de la gràfica d’abscissa x = 2. [2,5 punts]

a = 1 , b = 4

Sigui la funció f(x), en què k és un paràmetre real diferent de 0. Per als  diferents valors del paràmetre k: 

• a) Calculeu el domini i les asímptotes de la funció. [1 punt] 

• b) Calculeu els punts amb un màxim o un mínim relatiu. [1 punt]

(b) màxim relatiu en ( 0 , −1/k ) , no té mínims relatius