Embedded Files
PAU CTEC 2022.3.6 - Cable per a un altaveu
PAU CTEC 2022.3.6 - Cable per a un altaveu
La imatge següent mostra dues parets perpendiculars d’una sala representades en uns eixos de coordenades, de manera que una paret és al pla y = 0 i l’altra és al pla x = 0.
En el punt A = (2, 0, 2) hi volem penjar un altaveu que ha d’estar connectat a un equip de so, el qual està situat a l’altra paret, en el punt B = (0, 2, 1). La connexió entre A i B la farem mitjançant un cable que passi pel punt C = (0, 0, h), situat a la recta vertical d’intersecció de les dues parets. Com que la qualitat del so depèn, entre altres factors, de la longitud del cable que uneix els dos aparells, volem fer una instaŀlació amb el mínim de cable possible.
a) Comproveu que la longitud total del cable necessari, en funció de l’altura h per on ha de passar el cable a l’eix vertical OZ, ve donada per l’expressió L(h) = √(h2–4h+8) + √(h2–2h+5) [0,75 punts]
b) Calculeu les coordenades del punt C per on ha de passar el cable per tal que la longitud del cable sigui mínima. Calculeu aquesta longitud mínima del cable. [1,75 punts]
(b) C = (0,0,3/2) ; √17 unitats de longitud
PAU CSOC 2022.2.2 - Producció de fruita en funció de la temperatura
PAU CSOC 2022.2.2 - Producció de fruita en funció de la temperatura
Experimentalment s’ha comprovat que la producció d’un tipus de fruita determinat que es cultiva en hivernacles depèn de la temperatura, segons la funció
f(x) = –x2 + 46x – 360,
en què x representa la temperatura de l’hivernacle en graus Celsius i f(x) és la producció anual en centenars de quilograms per hectàrea. El preu de venda de la fruita es manté estable a 1,2 euros per cada quilogram.
a) Determineu l’interval de temperatures entre les quals cal mantenir l’hivernacle perquè hi hagi producció de fruita. Calculeu els ingressos anuals per hectàrea si es manté l’hivernacle a 20 °C de temperatura. [1,25 punts]
b) A quina temperatura s’obté la producció màxima de fruita? Quins ingressos per hectàrea s’obtenen en aquest cas? [1,25 punts]
(a1) rang de temperatures (10, 36) ; (a2) 16.000 kg/ha, 19.200 €/ha
(b) 23º , 16.900 kg/ha , 20.280 €/ha
PAU CSOC 2022.2.4 - Població d'un cultiu de bacteris
PAU CSOC 2022.2.4 - Població d'un cultiu de bacteris
(a) a = 6 , b = 4
(b) en t=2, 900 bacteris
PAU CSOC 2022.3.1 - Beneficis en la producció d'un producte
PAU CSOC 2022.3.1 - Beneficis en la producció d'un producte
El cost de producció (en euros) de x unitats d’un producte determinat és donat per la funció
C(x) = 0,02x2 + 3x + 100
Aquestes unitats es posen a la venda i el preu de venda unitari (en euros) depèn del nombre d’unitats produïdes x. Concretament, és donat per la funció
p(x) = 47 – 0,06x
Suposem que es venen totes les unitats que es produeixen.
a) Determineu la funció que dona els beneficis obtinguts en funció del nombre d’unitats produïdes x. [1,25 punts]
b) Determineu quantes unitats cal produir per a obtenir el benefici màxim i digueu quin és aquest benefici. [1,25 punts]
(a) B(x) = −0,08x^2 + 44x − 100
(b) 275 unitats, 5950 €
PAU CSOC 2022.3.3 - Exposició del Museu de Matemàtiques de Catalunya
PAU CSOC 2022.3.3 - Exposició del Museu de Matemàtiques de Catalunya
(a) 800 persones , TVM[1,4] = 0
(b) 2a setmana, 1200 persones
PAU CSOC 2022.3.6 - Beneficis en la venda d'accions
PAU CSOC 2022.3.6 - Beneficis en la venda d'accions
Un inversor s’adona que en el moment actual les seves accions tenen unes pèrdues de 2.000 €. El seu assessor financer té una previsió del valor de les accions per als propers 30 dies. Li diu que el valor de les accions ja ha començat a augmentar i que d’aquí a pocs dies deixarà de tenir pèrdues. Segons les previsions, durant els propers 10 dies el valor de les accions creixerà; del dia 10 al dia 20 els beneficis disminuiran, i a partir d’aquest dia els beneficis tornaran a créixer. L’assessor també diu a l’inversor que la previsió dels beneficis per als propers 30 dies té com a model la funció f(x) = x3 + ax2 + bx + c, en què x ∈ [0, 30].
a) Calculeu els valors dels paràmetres a, b i c. [1,5 punts]
b) Si l’inversor vol vendre les seves accions durant aquests 30 dies, quin és el dia en el qual obtindrà més beneficis de la venda? Quins beneficis obtindrà? [1 punt]
(a) a = -45 , b = 600 , c = -2000
(b) més beneficis el trentè dia, 2.500 €
PAU CSOC 2022.5.1 - Valor d'un producte electrònic
PAU CSOC 2022.5.1 - Valor d'un producte electrònic
El valor d’un producte electrònic, en funció del nombre de mesos que fa que està a la venda, t, és donat per la funció f(t) = –(t + 25)(t – 75).
a) Trobeu els intervals de creixement i decreixement de la funció f(t). En quin moment el producte assolirà el valor màxim? Quin és aquest valor màxim? [1,25 punts]
b) Sabem que el producte es deixarà de comercialitzar quan arribi a un valor de 475 €. En quin moment es deixarà de comercialitzar? [1,25 punts]
(a) creix a l’interval (−∞, 25), decreix a l’interval (25, +∞), màxim relatiu en t=25, 2.500€
(b) al cap de 70 mesos
PAU CSOC 2022.5.5 - Beneficis en la fabricació d'un model de cotxe
PAU CSOC 2022.5.5 - Beneficis en la fabricació d'un model de cotxe
Una fàbrica de vehicles produeix cotxes d’un model anomenat Paradís i els ven a 58.000 €. Sabem que els costos mensuals de producció són donats per la funció
C(x) = (1/2)x2 - 64x + 4.704 (en milers d’euros),
en què x denota el nombre de cotxes que es fabriquen mensualment.
a) Suposant que es venen tots els cotxes que es fabriquen, verifiqueu que la funció de beneficis és B(x) = (-1/2)x2 + 122x - 4.704 (en milers d’euros). [0,75 punts]
b) Determineu el nombre de cotxes que cal fabricar mensualment per a no tenir pèrdues. Per a quin nombre d’unitats produïdes s’obté el benefici màxim i quin és aquest benefici màxim? [1 punt]
c) Es vol augmentar el preu de venda per unitat, de manera que el benefici màxim s’obtingui amb 130 unitats (la funció que dona el cost mensual en milers d’euros no varia). Quin ha de ser el nou preu de venda del cotxe? [0,75 punts]
(b1) no tindrà pèrdues quan el nombre d’unitats produïdes estigui dins l’interval [48,196]
(b2) màxim amb 122 unitats, 2.738 milers d’euros
(c) a=66, el preu de venda haurà de ser de 66.000 €
Page updated
Google Sites
Report abuse