Geometria analítica en l'espai

Considereu el pla π d’equació x + y = 0.

• a) Calculeu l’equació del pla π′ que és perpendicular a π i conté els punts P = (1, –1, 2) i Q = (3, –3, 6). [1 punt]

• b) Calculeu l’equació paramètrica de la recta continguda en π′ i que conté els punts de π′ a la mateixa distància de P que de Q. [1,5 punts]

(a) x – y – z = 0

(b) (x, y, z) = (k + 4, k, 4) = (4,0,4) + k(1,1,0)

• a) Quina és la seva posició relativa? Calculeu l’equació implícita d’un pla π que sigui paral·lel a les dues rectes i que passi per l’origen de coordenades. [1,25 punts]

• b) Calculeu l’equació de la recta t que talla les dues rectes r i s perpendicularment. [1,25 punts]

(a) x−2y−2z = 0

(b) { 8x−7y+11z = 45 ; 2x−4y+5z = −9 }

Siguin els plans π1 i π2 , determinats respectivament per les equacions π1 : x+y = 3 i π2 : x–z = –2.

• a) Trobeu l’equació general (Ax + By + Cz + D = 0) del pla π3 , que és perpendicular a π1 i π2 , i que passa pel punt P = (4,1,2). [0,75 punts]

• b) Sigui r la recta d’intersecció de π1 i π2 . Calculeu l’equació vectorial de la recta r. [0,75 punts]

• c) Calculeu el punt Q de la recta r que és més a prop del punt P. [1 punt]

(a) x − y + z − 5 = 0

(b) r: (x,y,z) = (0,3,2) + λ·(1,−1,1) , λ∈R

(c) Q = (2,1,4)

Siguin els punts A = (0, 0, 1), B = (1, 1, 1), C = (–1, –1, 1) i D = (1, 0, 1).

• a) Comproveu que tres d’aquests punts estan alineats. Determineu quins són els tres punts i calculeu l’equació contínua i l’equació paramètrica de la recta que defineixen. [1,25 punts]

• b) Calculeu l’equació general o cartesiana del pla que determinen els quatre punts. [1,25 punts]

(a) recta (x,y,z) = (k,k,1)

(b) pla z = 1

(a) M = (1,1,1) , P' = (3,−1,1)

(b) x + y − 5z + 9 = 0

• a)  Calculeu l’equació general del pla π que passa pel punt (8, 8, 8) i té com a vectors directors u = (1, 2, –3) i v = (–1, 0, 3). [1,25 punts]

• b) Determineu el valor del paràmetre a perquè el punt (1, –5, a) pertanyi al pla π i calculeu l’equació paramètrica de la recta que passa per aquest punt i és perpendicular al pla π. [1,25 punts]

(a) 3x+z=32

(b) a=29 ; recta { x=1+3𝑡 , y=−5 , z=29+𝑡 }

(a) les dues rectes s'encreuen

(b) 𝜋: 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −3

Un avió es desplaça des d’un punt A = (0, 3, 1) cap a una plataforma plana d’equació π: x – 2y + z = 1 seguint una recta r paraŀlela al vector v = (1, –1, 0). 

• a) Calculeu les coordenades del punt de contacte B de l’avió amb el pla i la distància recorreguda. [1,25 punts]

• b) Calculeu l’equació general del pla perpendicular a la plataforma i que conté la recta r seguida per l’avió des del punt A. [1,25 punts]

(a) 𝐵 = (2,1,1) , distància √8 = 2√2 𝑢

(b)  𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4

Un dron es troba en el punt P = (2, –3, 1) i volem dirigir-lo en línia recta fins al punt més proper del pla d’equació π : 3x+4z+15 = 0. 

• a) Calculeu l’equació de la recta, en forma paramètrica, que ha de seguir el dron. Quina distància ha de recórrer fins a arribar al pla? [1 punt] 

• b) Trobeu les coordenades del punt del pla on arribarà el dron. [1 punt]

(a) recta { x=2+3t , y=–3 , z=1+4t } ; distància 5u

(b) punt (–1,–3,–3)

(a) 𝑎 ≠ ±1

(a) 5x + y – 6z = 7

(b) m = –3

(a) x + 3y + 2z = 17

(b) no existeix cap pla que contingui la recta r1 i sigui perpendicular a la recta r2

(a) 2x – y + 2z = –3

(b) ( –2 , –1 , –3 )

(b) (x,y,z) = (–1,2,1) + λ · (1,2,1) + μ · (–3/2,2,1)

(a) 𝑎≠1 i 𝑎≠−2 , plans que es tallen en un punt ; 𝑎=1 , plans coincidents ; 𝑎≠−2 , tres plans que no tenen cap punt comú (cada dos plans es tallen en una recta que queda paral·lela no continguda al tercer pla)

(b) { x = 1−t−s ; y = t ; z = s } ; punt (1,0,0) ; vectors (−1,1,0) i (−1,0,1)