Teorema de Bayes

Un usuari d’Internet ha estimat que el 25 % dels correus electrònics que rep són correu brossa, mentre que la resta no ho són. Per a facilitar la classificació del correu, s’ha instal·lat un filtre que envia a la carpeta de correu brossa el 95 % dels missatges que efectivament ho són. Malauradament, aquest filtre deixa a la safata d’entrada només el 90 % dels missatges bons (i la resta els envia a la carpeta de correu brossa).

• a) Quina és la probabilitat que un missatge sigui enviat pel filtre a la carpeta de correu brossa? [0,75 punts]

• b) Un dia, aquest usuari obre la carpeta de correu brossa. Quin percentatge de missatges que no són correu brossa hi trobarà? [0,75 punts]

(a) 0,3125

(b) 0,24

En un servidor de correu electrònic determinat, la probabilitat de rebre com a mínim dos correus en menys de t minuts ve donada per la funció F(t) = ∫0t Ae-0,5x dx, on A és una constant real.

• c) Sabent que la probabilitat de rebre com a mínim dos correus en menys de dos minuts és 1–e-1, trobeu el valor de A. [1 punt]

(c) A = 0,5

Al Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM), que se celebrarà a Lleida el proper mes de juliol, hi assistiran docents d’universitat, d’educació secundària i d’educació infantil i primària. A hores d’ara, un 10 % dels docents inscrits són d’universitat, un 50 % són de secundària i la resta són d’infantil i primària. D’altra banda, un 40 % dels docents inscrits d’universitat, un 52 % dels docents inscrits de secundària i un 65 % dels docents inscrits d’infantil i primària són dones.

• opció A (a) Calculeu la probabilitat que una persona escollida a l’atzar d’entre tots els inscrits sigui una dona. Si d’entre totes les dones inscrites n’escollim una a l’atzar, quina probabilitat hi ha que sigui docent de secundària? [1,25 punts]

• opció A (b) Calculeu el nombre de docents que s’han inscrit al Congrés de cada nivell educatiu si sabem que en total hi ha 476 dones inscrites. [1,25 punts]

(a) P(dona)=0,56 ; P(sec/dona)=0,4643

(b) hi ha 85 docents universitaris, 425 de secundària i 340 d’infantil i primària

Una empresa fabrica bicicletes convencionals i elèctriques. El responsable de qualitat de l’empresa ha mirat l’historial de vendes i ha calculat que el 5 % de les bicicletes convencionals havien tingut algun tipus de problema que n’havia requerit una revisió postvenda. En el cas de les bicicletes elèctriques, aquest percentatge era del 15 %. Actualment, el 25 % de la producció és de bicicletes convencionals i el 75 %, de bicicletes elèctriques.

• a) Si escollim una bicicleta a l’atzar, quina és la probabilitat que tingui algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda? Si la bicicleta escollida a l’atzar presenta algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda, quina és la probabilitat que sigui elèctrica? [1,25 punts]

(a) 0,125 ; 0,90

S’estima que el 20 % dels habitants d’una regió pateix algun tipus d’arrítmia. Per a diagnosticar-la, hi ha la possibilitat de col·locar al pacient un monitor Holter, que detecta l’arrítmia en un 95 % dels casos de persones que la pateixen, però que també dona falsos positius, per motius elèctrics, en persones que no pateixen arrítmies en un 0,5 % dels casos.

• a) Si escollim 4 persones a l’atzar, quina és la probabilitat que almenys una d’elles pateixi arrítmies? [0,75 punts]

• b) Quina és la probabilitat que una persona escollida a l’atzar obtingui un diagnòstic positiu d’arrítmia? [0,75 punts]

• c) Si una persona obté un diagnòstic negatiu a la prova del Holter, quina és la probabilitat que realment pateixi arrítmies? [1 punt]

(a) 0,5904

(b) 0,194

(c) 0,012...

La Rut fa servir el mètode següent per a fer els problemes de matemàtiques: tira un dau equilibrat i, si el resultat és com a màxim 4, pensa i resol el problema ella mateixa; si el resultat és 5 o 6, busca la solució del problema per Internet i la copia. Quan és ella qui ha pensat la solució, la resposta és correcta en el 75 % dels casos; quan copia la solució d’Internet, la resposta és correcta només en el 40 % dels casos.

• a) Quina és la probabilitat que la solució d’un problema respost seguint aquest mètode sigui correcta? [0,75 punts]

• b) Quina és la probabilitat que un problema l’hagi resolt la Rut si sabem que la solució és correcta? [0,75 punts]

• c) Demà la Rut ha d’entregar 5 problemes de matemàtiques. Quina és la probabilitat que n’hi hagi almenys 4 de correctes? [1 punt]

(a) 0,633...

(b) 0,789...

(c) 0,396...

En una cafeteria, al migdia, ofereixen la possibilitat d’escollir entre el menú del dia (opció A1) o un plat combinat (opció A2). Alguns clients també prenen cafè (opció B1) i d’altres no (opció B2). Si seleccionem un client de la cafeteria a l’atzar, la probabilitat que esculli el menú del dia és de 0,6 i la probabilitat que esculli un plat combinat és de 0,4. D’altra banda, la probabilitat que prengui cafè si escull el menú del dia és de 0,75, mentre que la probabilitat que prengui cafè si escull un plat combinat és de 0,5.

• a) Quina és la probabilitat que el client prengui cafè? [1,25 punts] 

• b) Quina és la probabilitat que hagi escollit el menú del dia si sabem que ha pres cafè? [1,25 punts] 

(a) 0,65

(b) 0,6923

Un centre esportiu té dues zones: la zona de la piscina (A1) i la zona del gimnàs (A2). Els abonats han de triar a quina de les dues zones (només una) volen accedir i també si volen anar al centre esportiu en horari de matí (opció B1) o en horari de tarda (opció B2).

Si seleccionem un abonat del centre a l’atzar, sabem que la probabilitat que utilitzi la zona de la piscina és de 0,4 i la probabilitat que utilitzi el gimnàs és de 0,6. D’altra banda, la probabilitat que estigui abonat en horari de matí, si sabem que utilitza la zona de la piscina, és de 0,55, mentre que la probabilitat que estigui abonat en horari de matí, si sabem que utilitza el gimnàs, és de 0,45.

• a) Quina és la probabilitat que l’individu estigui abonat en horari de matí? [1,25 punts] 

• b) Si sabem que està abonat en horari de matí, quina és la probabilitat que utilitzi la zona de piscina? [1,25 punts] 

(a) 0,49

(b) 0,4490

Un ordinador personal té operatius dos programes antivirus A1 i A2 que actuen simultàniament i de forma independent. Davant la presència d'un virus, el programa A1 el detecta amb una probabilitat de 0.9 i el programa A2 el detecta amb una probabilitat de 0.8. Calculeu de forma raonada:

a) La probabilitat que un virus qualsevol sigui detectat.

Resposta: 0.98

b) Si un virus ha estat detectat, quina és la probabilitat que l'hagi detectat l'antivirus A1?

Resposta: 0.92

c) Si un virus ha estat detectat, quina és la probabilitat que l'hagin detectat els dos antivirus A1 i A2?

Resposta: 0.7347

d) Un software addicional altera el funcionament de l'antivirus A2 de manera que la probabilitat que detecti un virus ja no és de 0.8. Quina és aquesta nova probabilitat si sabem que un virus és detectat per A1 i no per A2 amb probabilitat 0.27?

Resposta: 0.70

Un ordinador personal té operatius dos programes antivirus A1 i A2 que actuen simultàniament i de forma independent. Davant la presència d'un virus, el programa A1 el detecta amb una probabilitat de 0.9 i el programa A2 el detecta amb una probabilitat de 0.8. Calculeu de forma raonada:

a) La probabilitat que un virus qualsevol sigui detectat.

Resposta: 0.98

b) La probabilitat que un virus sigui detectat pel programa A1 i no per A2.

Resposta: 0.18

c) Si un virus ha estat detectat, quina és la probabilitat que l'hagi detectat l'antivirus A1?

Resposta: 0.92

En un poble hi ha dos instituts que anomenarem A1 i A2. En tots dos instituts es pot estudiar el batxillerat científic (que anomenarem B1) o l'humanístic (que anomenarem B2). Seleccionem un alumne a l'atzar i se sap que la probabilitat que pertanyi a l'institut A1 és de 0.3, la probabilitat que pertanyi a l'institut A2 és de 0.7. D'altra banda, la probabilitat que estudiï el batxillerat científic si sabem que pertany a l'institut A1 és de 0.55 mentre que la probabilitat que estudiï el batxillerat científic si sabem que pertany a l'institut A2 és de 0.59.

a) Calcula les probabilitats que un alumne estudiï el batxillerat B1 a l'institut A1, que estudiï el batxillerat B1 a l'institut A2, que estudiï el batxillerat B2 a l'institut A1, i que estudiï el batxillerat B2 a l'institut A2.

Resposta: 0.165 , 0.413 , 0.135 , 0.287

b) Si en aquest poble hi ha exactament 1000 estudiants, quants estudien cada batxillerat a cada institut?

c) El curs vinent arribaran 20 alumnes nous al poble i tots faran batxillerat B2 a l'institut A1. Quina serà la nova probabilitat que un alumne estudiï batxillerat B1 si sabem que pertany a l'institut A1?

Resposta: 0.515625

En un poble hi ha dos instituts que anomenarem A1 i A2. En tots dos instituts es pot estudiar el batxillerat científic (que anomenarem B1) o l'humanístic (que anomenarem B2). Seleccionem un alumne a l'atzar i se sap que la probabilitat que pertanyi a l'institut A1 és de 0.3, la probabilitat que pertanyi a l'institut A2 és de 0.7. D'altra banda, la probabilitat que estudiï el batxillerat científic si sabem que pertany a l'institut A1 és de 0.55 mentre que la probabilitat que estudiï el batxillerat científic si sabem que pertany a l'institut A2 és de 0.59.

a) Quina és la probabilitat que l'alumne estudiï el batxillerat científic?

Resposta: 0.578

b) Quina és la probabilitat que estudiï a l'institut A1 si sabem que estudia el batxillerat científic?

Resposta: 0.2855

Un alumne va en cotxe a la facultat el 80% de les vegades amb un amic. Quan l'amic el porta, arriba tard el 20% dels dies. Quan l'amic no el porta, l'alumne arriba d'hora a classe el 10% dels dies. Determina:

a) La probabilitat que arribi d'hora a classe i l’hagi portat l'amic.
b) La probabilitat que arribi tard a classe.
c) Si ha arribat d’hora a classe, quina és la probabilitat que no l’hagi portat l'amic?

(a) 0,64 // (b) 0,66 // (c) 0,03

Una fàbrica té tres cadenes de producció, A, B i C. La cadena A fabrica el 50% del total de cotxes produïts; la B, el 30%; i la C, la resta.

La probabilitat que un cotxe surti defectuós és: a la cadena A, 1/2​; a la cadena B, 1/4​; i a la cadena C, 1/6​. Calcula raonadament:

a) La probabilitat que un cotxe sigui defectuós i hagi estat fabricat per la cadena A.
b) La probabilitat que un cotxe sigui defectuós.
c) Si un cotxe no és defectuós, quina és la probabilitat que hagi estat produït per la cadena C?

(a) 0,25 // (b) 0,36 // (c) 0,26

Tenim dues bosses, A i B. A la bossa A hi ha 3 boles blanques i 7 de vermelles. A la bossa B hi ha 6 boles blanques i 2 de vermelles. Extraiem una bola de la bossa A i la passem a la bossa B. Després, traiem una bola de la bossa B.

a) Quina és la probabilitat que la bola extreta de la bossa B sigui blanca?
b) Quina és la probabilitat que les dues boles siguin blanques?
c) Si sabem que de la bossa B hem tret una bola vermella, quina és la probabilitat que de la bossa A hagi sortit una blanca?
d) Quina és la probabilitat de treure una bola blanca de la bossa A o de la bossa B?

(a) 0,7 // (b) 0,23 // (c) 0,22 // (d) 0,77

Una empresa d'electrodomèstics compta amb quatre fàbriques, A, B, C i D, on es produeixen neveres. La fàbrica A produeix el 30% del total de neveres; la fàbrica B, el 20%; la fàbrica C, el 40%; i la fàbrica D, el 10%. El percentatge de neveres defectuoses a cada fàbrica és del 2% a A, del 5% a B, del 4% a C i de l'1% a D. Calcula:

a) La probabilitat que, escollint una nevera a l'atzar, sigui defectuosa.
b) La probabilitat que una nevera sigui defectuosa i provingui de la fàbrica B.
c) Si una nevera és defectuosa, quina és la probabilitat que provingui de la fàbrica D?

(a) 0,033 // (b) 0,01 // (c) 0,0303