Teorema de Bayes

Llibre amb errors

7. Un llibre té 3 capítols. El 89 % de les pàgines del 1r capítol no té cap error. El 93 % del 2n i el 95 % del 3r tampoc no contenen errors. Els capítols tenen 130 pàgines, 153 i 180 (respectivament). Escollim una pàgina a l’atzar i observem que no té cap error. Calcula la probabilitat que sigui del 3r capítol.

Solució: 0,3986107

Articles defectuosos

8. Una botiga ven un determinat article, subministrat per tres fabricants A, B i C. El fabricant A en subministra el 30 %, B el 50 % i C la resta. Dels subministrats per A, un 5 % són defectuosos; per B un 3 % i per C un 7 %. S’observa un article a l’atzar i és defectuós. Quina és la probabilitat que hagi estat subministrat per A ?

10. En una urna hi ha dues boles. Per omplir-la es va llançar enlaire dos cops una moneda. Si sortia cara s’introduïa una bola blanca i si sortia creu, una de negra. S’ha extret una bola i és blanca. Calculeu la probabilitat que l’altra bola sigui d’aquest mateix color.

Solució: ( 1/4 ) / ( 1/4 + 1/8 + 1/8 ) = 1/2

12. Tres urnes contenen boles de colors. La primera 3 blanques i 5 vermelles, la segona 6 vermelles i 4 negres, la tercera 6 blanques, 2 vermelles i 3 negres. Es llança un dau. Si surt un 1 o un 2, s’extreu una bola de la primera urna; si hi surt un 3 o un 4 s’extreu de la segona; si hi surt un 5 o un 6 s’extreu de la tercera. S’ha extret la bola i ha resultat ser de color vermell. Calculeu la probabilitat que en el dau hagi sortit un 5 o un 6.

13. Tres màquines produeixen el 50 %, el 30 % i el 20 % dels articles d’una fàbrica. El percentatge d’articles defectuosos elaborats per cada màquina és del 3 % , del 4 % i del 5 %. Agafem un article a l’atzar i resulta ser defectuós. Calculeu la probabilitat que hagi estat fabricat per la primera màquina.

14. Un fàbrica té dues màquines A i B per elaborar els articles. La probabilitat que un article sigui fabricat per la màquina A és 0.7. La màquina A produeix articles defectuosos amb una probabilitat de 0.02; la màquina B amb una probabilitat de 0.06. Agafem un article a l’atzar i resulta ser defectuós. Calculeu la probabilitat que hagi estat fabricat per la màquina A.

15. Tenim dues urnes X i Y. A la urna X hi ha dues boles vermelles, tres de negres i dues de blanques. A la urna Y tres blanques i dues negres. Traiem una bola de X a l’atzar i, sense mirar-la, la introduïm a la urna Y. Traiem una bola de Y i la mirem:

• Quina probabilitat tenim que, aquesta segona bola, sigui negra?

• Si és negra, quina probabilitat hi ha que la primera bola que vam agafar fos vermella?

16. En una facultat en la qual el 60 % del estudiants són dones, s’ha fet un estudi i s’ha observat que el 4 % dels homes i l’1 % de les dones fan més de 180 cm d’alçada. Si seleccionem una estudiant de més de 180 cm d’alçada, quina probabilitat té de ser una dona?

17. Tenim tres capses amb boles de colors. A la capsa A hi ha 3 boles vermelles i 5 de blanques. A la B n’hi ha 2 de vermelles i 1 de blanca. A la C, 2 de vermelles i 3 de blanques. Seleccionem a l’atzar una de les capses i en treiem una bola. Resulta ser vermella. Quina probabilitat tenim que la capsa que hem escollit sigui la capsa A?

18. Un mariner torna a casa després d’uns anys de viatge. Té tres clauers A, B i C a les mans, amb cinc, set i vuit claus respectivament. No recorda quina clau és la que obre la porta de casa, però sí que sap que una clau de cada clauer és la bona. Escull un clauer a l’atzar i una clau del clauer (també a l’atzar). Calculeu les probabilitats següents:

• Que la clau obri la porta.

• Que la clau sigui del clauer C i no obri la porta.

• Que la clau sigui del clauer A si resulta que obre la porta.

19. En un edifici hi ha dos ascensors. El primer l’utilitza el 45 % dels veïns. La resta de veïns utilitza el segon. El primer ascensor s’avaria un 5 % de vegades, el segon un 8 %. Avui s’ha quedat un veí tancat a l’ascensor. Quina probabilitat hi ha que sigui al primer ascensor?

Auditors bons i dolents

El director d’una entitat que audita la comptabilitat d’empreses sap, per experiències passades, que quan es fa una auditoria el 30% de les empreses mereix una qualificació d’«Excel·lent», el 50% de les empreses mereix la qualificació d’«Acceptable» i el 20% restant mereix una qualificació de «Deficient». El director també sap que entre els auditors de la seua entitat hi ha un 90% d’auditors que sempre auditen correctament i donen a cada empresa la qualificació que mereix; però hi ha un 10% d’auditors que no auditen correctament i donen sempre una qualificació d’«Acceptable».

• a) Quina proporció d’empreses auditades per aquesta entitat rep la qualificació de «Deficient»? (3 punts)

• b) Quina proporció d’empreses auditades per aquesta entitat rep la qualificació que realment mereix? (3 punts)

• c) Per a analitzar si un determinat auditor audita correctament o no, el director li encarrega que audite la comptabilitat d’una empresa triada a l’atzar. No sabem quina és la qualificació que mereix l’empresa. Si l’auditor dona la qualificació d’«Acceptable», quina és la probabilitat que aquest auditor siga un dels quals sempre auditen correctament? (4 punts)

Malaltia dels lloros

La colibacil·losi és una malaltia que afecta els lloros. En un centre veterinari, s’estima en un 40% la proporció de lloros portadors de la malaltia. Es fa un test diagnòstic de la malaltia entre els lloros del centre veterinari. Quan un lloro és portador de la malaltia, el test dona positiu en el 90% dels casos. Si el lloro no és portador de la malaltia, el test dona negatiu en el 85% dels casos. Es tria un lloro a l’atzar del centre veterinari. Calculeu:

• a) La probabilitat que el lloro siga portador de la malaltia i el seu test done positiu. (3 punts)

• b) La probabilitat que el test done positiu. (3 punts)

• c) La probabilitat que el lloro siga portador de la malaltia, si sabem que ha donat negatiu en el test. (4 punts)

Màquina en modes automàtic i manual

Una màquina funciona en mode automàtic el 70% dels dies i en mode manual la resta dels dies. La probabilitat que tinga una fallada quan funciona en mode automàtic és 0,15. La probabilitat que tinga una fallada quan funciona en mode manual és 0,05. Obteniu:

• a) [5 punts] La probabilitat que no tinga cap fallada.

• b) [5 punts] Si un dia té una fallada, quina és la probabilitat que haja funcionat en mode manual?

Desplaçament a la facultat

Un alumne va en cotxe a la facultat el 80% de les vegades amb un amic. Quan l'amic el porta, arriba tard el 20% dels dies. Quan l'amic no el porta, l'alumne arriba d'hora a classe el 10% dels dies. Determina:

a) La probabilitat que arribi d'hora a classe i l’hagi portat l'amic.
b) La probabilitat que arribi tard a classe.
c) Si ha arribat d’hora a classe, quina és la probabilitat que no l’hagi portat l'amic?

(a) 0,64 // (b) 0,66 // (c) 0,03

Fàbrica amb cadenes de producció

Una fàbrica té tres cadenes de producció, A, B i C. La cadena A fabrica el 50% del total de cotxes produïts; la B, el 30%; i la C, la resta.

La probabilitat que un cotxe surti defectuós és: a la cadena A, 1/2​; a la cadena B, 1/4​; i a la cadena C, 1/6​. Calcula raonadament:

a) La probabilitat que un cotxe sigui defectuós i hagi estat fabricat per la cadena A.
b) La probabilitat que un cotxe sigui defectuós.
c) Si un cotxe no és defectuós, quina és la probabilitat que hagi estat produït per la cadena C?

(a) 0,25 // (b) 0,36 // (c) 0,26

Bosses amb boles blanques i vermelles

Tenim dues bosses, A i B. A la bossa A hi ha 3 boles blanques i 7 de vermelles. A la bossa B hi ha 6 boles blanques i 2 de vermelles. Extraiem una bola de la bossa A i la passem a la bossa B. Després, traiem una bola de la bossa B.

a) Quina és la probabilitat que la bola extreta de la bossa B sigui blanca?
b) Quina és la probabilitat que les dues boles siguin blanques?
c) Si sabem que de la bossa B hem tret una bola vermella, quina és la probabilitat que de la bossa A hagi sortit una blanca?
d) Quina és la probabilitat de treure una bola blanca de la bossa A o de la bossa B?

(a) 0,7 // (b) 0,23 // (c) 0,22 // (d) 0,77

Empresa d'electrodomèstics

Una empresa d'electrodomèstics compta amb quatre fàbriques, A, B, C i D, on es produeixen neveres. La fàbrica A produeix el 30% del total de neveres; la fàbrica B, el 20%; la fàbrica C, el 40%; i la fàbrica D, el 10%. El percentatge de neveres defectuoses a cada fàbrica és del 2% a A, del 5% a B, del 4% a C i de l'1% a D. Calcula:

a) La probabilitat que, escollint una nevera a l'atzar, sigui defectuosa.
b) La probabilitat que una nevera sigui defectuosa i provingui de la fàbrica B.
c) Si una nevera és defectuosa, quina és la probabilitat que provingui de la fàbrica D?

(a) 0,033 // (b) 0,01 // (c) 0,0303

PAU CTEC 2025.3.3 - Lesió per sesamoïditis

La lesió per sesamoïditis (inflamació de l’os sesamoide del peu) és relativament habitual entre la població que practica esports d’impacte (atletisme, bàsquet, tennis…). En una població d’esportistes, s’ha fet un estudi diferenciant entre els que practiquen esports d’impacte i els que practiquen esports sense impacte brusc (com ara natació, pilates, senderisme…). S’ha pogut determinar que el 45 % practiquen esports d’impacte. Entre aquests, un 10 % pateixen lesions per sesamoïditis, mentre que entre els que no practiquen esports d’impacte només un 3 % presenten aquesta lesió. Escollim un esportista a l’atzar. 

• a) Quina és la probabilitat que pateixi sesamoïditis? [0,75 punts]

• b) Si l’esportista escollit té una lesió per sesamoïditis, quina és la probabilitat que practiqui esports d’impacte? [0,75 punts]

Una empresa de calçat esportiu ha creat una sabatilla amb amortiment per a minimitzar les lesions per sesamoïditis. Els beneficis generats per la venda d’aquest producte, en milers d’euros, segueixen una funció de la forma f(x) = ax3 + bx2 + cx, on x són els anys transcorreguts des que la sabatilla va sortir a la venda i a, b i c són constants reals. 

• c) Calculeu els valors de a, b i c sabent que el primer any es van obtenir el màxim de beneficis, amb un valor de 8 000 euros, i que el segon any va haver-hi un punt d’inflexió en els beneficis. [1 punt]

PAU CTEC 2025.4.3 - Correu brossa

Un usuari d’Internet ha estimat que el 25 % dels correus electrònics que rep són correu brossa, mentre que la resta no ho són. Per a facilitar la classificació del correu, s’ha instal·lat un filtre que envia a la carpeta de correu brossa el 95 % dels missatges que efectivament ho són. Malauradament, aquest filtre deixa a la safata d’entrada només el 90 % dels missatges bons (i la resta els envia a la carpeta de correu brossa).

• a) Quina és la probabilitat que un missatge sigui enviat pel filtre a la carpeta de correu brossa? [0,75 punts]

• b) Un dia, aquest usuari obre la carpeta de correu brossa. Quin percentatge de missatges que no són correu brossa hi trobarà? [0,75 punts]

(a) 0,3125

(b) 0,24

En un servidor de correu electrònic determinat, la probabilitat de rebre com a mínim dos correus en menys de t minuts ve donada per la funció F(t) = ∫0t Ae-0,5x dx, on A és una constant real.

• c) Sabent que la probabilitat de rebre com a mínim dos correus en menys de dos minuts és 1–e-1, trobeu el valor de A. [1 punt]

(c) A = 0,5

PAU CSOC 2025.1.4 - Congrés Català d’Educació Matemàtica

Al Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM), que se celebrarà a Lleida el proper mes de juliol, hi assistiran docents d’universitat, d’educació secundària i d’educació infantil i primària. A hores d’ara, un 10 % dels docents inscrits són d’universitat, un 50 % són de secundària i la resta són d’infantil i primària. D’altra banda, un 40 % dels docents inscrits d’universitat, un 52 % dels docents inscrits de secundària i un 65 % dels docents inscrits d’infantil i primària són dones.

• opció A (a) Calculeu la probabilitat que una persona escollida a l’atzar d’entre tots els inscrits sigui una dona. Si d’entre totes les dones inscrites n’escollim una a l’atzar, quina probabilitat hi ha que sigui docent de secundària? [1,25 punts]

• opció A (b) Calculeu el nombre de docents que s’han inscrit al Congrés de cada nivell educatiu si sabem que en total hi ha 476 dones inscrites. [1,25 punts]

(a) P(dona)=0,56 ; P(sec/dona)=0,4643

(b) hi ha 85 docents universitaris, 425 de secundària i 340 d’infantil i primària

PAU CSOC 2025.3.3a - Visitants d'un parc natural

En un parc natural, els visitants hi poden accedir en cotxe, en bicicleta o a peu. Un cop dins del parc, els visitants poden fer una ruta guiada o bé visitar-lo pel seu compte. 

• a) Sabem que el 60 % dels visitants hi accedeixen en cotxe, el 15 % en bicicleta i el 25 % restant a peu. També sabem que dels que hi arriben en cotxe el 80 % fan la ruta guiada, mentre que dels que hi arriben en bicicleta la fan el 60 % i dels que hi arriben a peu només la fan el 30 %. Si escollim un visitant a l’atzar, quina és la probabilitat que faci la ruta guiada? Si sabem que ha fet la ruta guiada, quina és la probabilitat que hagi accedit al parc en cotxe? [1,25 punts]

PAU CSOC 2025.4.2 - Bicicletes convencionals i elèctriques

Una empresa fabrica bicicletes convencionals i elèctriques. El responsable de qualitat de l’empresa ha mirat l’historial de vendes i ha calculat que el 5 % de les bicicletes convencionals havien tingut algun tipus de problema que n’havia requerit una revisió postvenda. En el cas de les bicicletes elèctriques, aquest percentatge era del 15 %. Actualment, el 25 % de la producció és de bicicletes convencionals i el 75 %, de bicicletes elèctriques.

• a) Si escollim una bicicleta a l’atzar, quina és la probabilitat que tingui algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda? Si la bicicleta escollida a l’atzar presenta algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda, quina és la probabilitat que sigui elèctrica? [1,25 punts]

(a) 0,125 ; 0,90

PAU CTEC 2024.3.4 - Arrítmies detectades amb monitor Holter

S’estima que el 20 % dels habitants d’una regió pateix algun tipus d’arrítmia. Per a diagnosticar-la, hi ha la possibilitat de col·locar al pacient un monitor Holter, que detecta l’arrítmia en un 95 % dels casos de persones que la pateixen, però que també dona falsos positius, per motius elèctrics, en persones que no pateixen arrítmies en un 0,5 % dels casos.

• a) Si escollim 4 persones a l’atzar, quina és la probabilitat que almenys una d’elles pateixi arrítmies? [0,75 punts]

• b) Quina és la probabilitat que una persona escollida a l’atzar obtingui un diagnòstic positiu d’arrítmia? [0,75 punts]

• c) Si una persona obté un diagnòstic negatiu a la prova del Holter, quina és la probabilitat que realment pateixi arrítmies? [1 punt]

(a) 0,5904

(b) 0,194

(c) 0,012...

PAU CTEC 2024.5.4 - El dau i els problemes de Matemàtiques

La Rut fa servir el mètode següent per a fer els problemes de matemàtiques: tira un dau equilibrat i, si el resultat és com a màxim 4, pensa i resol el problema ella mateixa; si el resultat és 5 o 6, busca la solució del problema per Internet i la copia. Quan és ella qui ha pensat la solució, la resposta és correcta en el 75 % dels casos; quan copia la solució d’Internet, la resposta és correcta només en el 40 % dels casos.

• a) Quina és la probabilitat que la solució d’un problema respost seguint aquest mètode sigui correcta? [0,75 punts]

• b) Quina és la probabilitat que un problema l’hagi resolt la Rut si sabem que la solució és correcta? [0,75 punts]

• c) Demà la Rut ha d’entregar 5 problemes de matemàtiques. Quina és la probabilitat que n’hi hagi almenys 4 de correctes? [1 punt]

(a) 0,633...

(b) 0,789...

(c) 0,396...

PAU CSOC 2024.5.5 - Menú del dia i plat combinat

En una cafeteria, al migdia, ofereixen la possibilitat d’escollir entre el menú del dia (opció A1) o un plat combinat (opció A2). Alguns clients també prenen cafè (opció B1) i d’altres no (opció B2). Si seleccionem un client de la cafeteria a l’atzar, la probabilitat que esculli el menú del dia és de 0,6 i la probabilitat que esculli un plat combinat és de 0,4. D’altra banda, la probabilitat que prengui cafè si escull el menú del dia és de 0,75, mentre que la probabilitat que prengui cafè si escull un plat combinat és de 0,5.

• a) Quina és la probabilitat que el client prengui cafè? [1,25 punts] 

• b) Quina és la probabilitat que hagi escollit el menú del dia si sabem que ha pres cafè? [1,25 punts] 

(a) 0,65

(b) 0,6923

PAU CSOC 2024.3.5 - Piscina i gimnàs d'un centre esportiu

Un centre esportiu té dues zones: la zona de la piscina (A1) i la zona del gimnàs (A2). Els abonats han de triar a quina de les dues zones (només una) volen accedir i també si volen anar al centre esportiu en horari de matí (opció B1) o en horari de tarda (opció B2).

Si seleccionem un abonat del centre a l’atzar, sabem que la probabilitat que utilitzi la zona de la piscina és de 0,4 i la probabilitat que utilitzi el gimnàs és de 0,6. D’altra banda, la probabilitat que estigui abonat en horari de matí, si sabem que utilitza la zona de la piscina, és de 0,55, mentre que la probabilitat que estigui abonat en horari de matí, si sabem que utilitza el gimnàs, és de 0,45.

• a) Quina és la probabilitat que l’individu estigui abonat en horari de matí? [1,25 punts] 

• b) Si sabem que està abonat en horari de matí, quina és la probabilitat que utilitzi la zona de piscina? [1,25 punts] 

(a) 0,49

(b) 0,4490

PAU CTEC 2024.0.1 - Programes antivirus

Un ordinador personal té operatius dos programes antivirus A1 i A2 que actuen simultàniament i de forma independent. Davant la presència d'un virus, el programa A1 el detecta amb una probabilitat de 0.9 i el programa A2 el detecta amb una probabilitat de 0.8. Calculeu de forma raonada:

a) La probabilitat que un virus qualsevol sigui detectat.

Resposta: 0.98

b) Si un virus ha estat detectat, quina és la probabilitat que l'hagi detectat l'antivirus A1?

Resposta: 0.92

c) Si un virus ha estat detectat, quina és la probabilitat que l'hagin detectat els dos antivirus A1 i A2?

Resposta: 0.7347

d) Un software addicional altera el funcionament de l'antivirus A2 de manera que la probabilitat que detecti un virus ja no és de 0.8. Quina és aquesta nova probabilitat si sabem que un virus és detectat per A1 i no per A2 amb probabilitat 0.27?

Resposta: 0.70

PAU CSOC 2024.0.1 - Programes antivirus

Un ordinador personal té operatius dos programes antivirus A1 i A2 que actuen simultàniament i de forma independent. Davant la presència d'un virus, el programa A1 el detecta amb una probabilitat de 0.9 i el programa A2 el detecta amb una probabilitat de 0.8. Calculeu de forma raonada:

a) La probabilitat que un virus qualsevol sigui detectat.

Resposta: 0.98

b) La probabilitat que un virus sigui detectat pel programa A1 i no per A2.

Resposta: 0.18

c) Si un virus ha estat detectat, quina és la probabilitat que l'hagi detectat l'antivirus A1?

Resposta: 0.92

PAU CSOC 2024.0.2 - Instituts i batxillerats

En un poble hi ha dos instituts que anomenarem A1 i A2. En tots dos instituts es pot estudiar el batxillerat científic (que anomenarem B1) o l'humanístic (que anomenarem B2). Seleccionem un alumne a l'atzar i se sap que la probabilitat que pertanyi a l'institut A1 és de 0.3, la probabilitat que pertanyi a l'institut A2 és de 0.7. D'altra banda, la probabilitat que estudiï el batxillerat científic si sabem que pertany a l'institut A1 és de 0.55 mentre que la probabilitat que estudiï el batxillerat científic si sabem que pertany a l'institut A2 és de 0.59.

a) Quina és la probabilitat que l'alumne estudiï el batxillerat científic?

Resposta: 0.578

b) Quina és la probabilitat que estudiï a l'institut A1 si sabem que estudia el batxillerat científic?

Resposta: 0.2855