Producte vectorial

14. Donats els vectors u = (2,1,2) i v = (3,−2,−2), busca'n un altre que sigui ortogonal.

15. Troba un vector ortogonal als vectors u = (1,2,−1) i v = (2,1,0), i que sigui unitari.

16. Raona la certesa o falsedat de l’afirmació següent:

• Si els vectors  u  i  v  són ortogonals i tenen el mateix mòdul, aleshores el producte vectorial d’ells té també el mateix mòdul.

17. Donats dos vectors de l'espai, u i v, de mòdul 2, calcula quin angle han de formar entre ells perquè el seu producte vectorial tingui el mateix mòdul.

18. Donats els punts de l’espai A = (2,−1,0), B = (0,2,0), C = (−3,0,0) i D = (0,−1,0)

• a) Demostra que són coplanaris.

• b) Calcula l’àrea del polígon ABCD (compte!, cal comprovar l’orientació dels punts).

Solució: 1 + 13/2 = 7,5 u^2, o bé 3 + 9/2 = 7,5 u^2

19. Donats els punts de l’espai A(2,−1,1) , B(0,−1,4) , C(3,0,2) i D(1,0,5)

• a) Demostra que són coplanaris. 

• b) Calcula l’àrea del polígon ABCD (compte!, cal comprovar l’orientació dels punts).

PAU CTEC 2021.5.3 - Punts coplanaris i àrea de triangle

Considereu els punts de l’espai tridimensional A = (1, a, 1), B = (a, 1, 2), C = (1, 1, 1) i D = (0, 0, 0), en què a és un paràmetre real.

• a) Determineu el valor del paràmetre a per al qual els punts són diferents i coplanaris (és a dir, que hi ha un pla que els conté). [1,25 punts]

• b) Per al valor a = 2, calculeu l’àrea del triangle de vèrtexs A, B i C. [1,25 punts]

(a) a = 2 (amb a=1 els punts A i C són el mateix)

(b) √2/2 u^2