Variables aleatòries

Una variable aleatòria discreta és aquella que pren valors comptables (normalment nombres enters), com ara 0, 1, 2, 3.... Aquests valors sorgeixen sovint de comptar esdeveniments o resultats d'un experiment.

Exemples:

• Llançament de daus: La suma de punts obtinguda en llançar dos daus. Els valors possibles són enters del 2 al 12.

• Llançament de monedes: El nombre de cares obtingudes en llançar una moneda 3 vegades. Els valors són 0, 1, 2 o 3.

• Control de qualitat: El nombre de peces defectuoses en una mostra de 10 components.

• Atenció al client: Nombre de trucades que rep un centre d'atenció en una hora.

Distribucions de probabilitat de variables aleatòries discretes

Distribució Binomial (Éxits en "n" assajos):

• Nombre d'alumnes que aproven un examen d'entre 30 presentats.

• Nombre de llibres no defectuosos en una selecció de 20.

Distribució de Poisson (Comptatge en temps/espai):

• Nombre de vegades que s'espatlla una màquina en una hora.

• Nombre d'accidents de trànsit en un encreuament específic durant un mes.

Distribució Geomètrica (Assajos fins al primer èxit):

• Nombre de vegades que llancem un dau fins que surt un 6.

• Nombre de clients atesos fins que un compra.

Exemple

• Experiment: Extracció de dues cartes d'una baralla catalana (48 cartes)

• Variable aleatòria: Quants asos tinc ?

El joc de daus

En un joc de taula, un jugador necessita treure un 6 amb un dau equilibrat per poder començar a moure la seva fitxa.

• a) Quina és la probabilitat que el jugador aconsegueixi treure el 6 exactament en el tercer llançament?

• b) Quina és la probabilitat que necessiti més de 3 llançaments per treure el primer 6?

Control de qualitat

Se sap que en una línia de producció de bombetes, la probabilitat que una unitat surti defectuosa és del 2%. Un inspector va provant bombetes una per una fins que en troba una de defectuosa.

• a) Quina és la probabilitat que la primera bombeta defectuosa sigui la cinquena que revisa?

• b) Quina és la probabilitat que trobi la primera defectuosa abans de la quarta revisió?

• c) Si l'inspector té molta sort i les primeres 10 bombetes són bones, quina és la probabilitat que la número 11 sigui la defectuosa?

Les variables aleatòries contínues són aquelles que poden prendre qualsevol valor real dins d'un interval determinat. A diferència de les discretes, no es poden comptar, sinó que es mesuren (altura, pes, temps, etc.).

Exemples:

• L'altura d'una persona: Pot ser 170 cm, 170.5 cm, 170.83 cm, etc.

• El pes d'un producte: Per exemple, el pes d'un paquet de cafè de 500 g (pot ser 498.5 g, 501.2 g, etc.).

• El temps de durada d'un component electrònic: El temps fins que una bombeta es fon (ex: 1500.5 h).

• La temperatura ambiental: Mesurada en un punt exacte, com ara 22.34 ºC.

• La velocitat d'un cotxe: En una autopista, mesurada en km/h (ex: 100.45 km/h).

• ...

Distribucions de probabilitat de variables aleatòries contínues

Exemples

• Distribució Normal (o Gaussiana): S'usa per a moltes variables. Per exemple, la concentració de plom en aigües residuals amb mitjana 71,2 μg/L i desviació típica 8,5 μg/L.

• Distribució Uniforme: Quan qualsevol valor dins d'un interval té la mateixa probabilitat, com el temps d'espera del metro si passa cada 10 minuts.

• Distribució Exponencial: Sovint usada per al temps que triga a passar un esdeveniment, com el temps fins a la següent trucada telefònica. 

Característiques

• Probabilitat puntual zero: La probabilitat que una variable contínua prengui un valor exacte P(X=x) és sempre 0.

• Intervals: Es calcula la probabilitat que la variable caigui dins d'un interval, P(a≤X≤b)

• Funció de densitat: Descriu la probabilitat de tots els valors possibles. És una funció on l'àrea total sota la corba és 1.