Matrius i determinants

(a) a = 2 i a = −1

(b) a ≠ 0

(c) a = −1

Una fàbrica es dedica a elaborar pasta. Tot el procés de producció es pot resumir en tres etapes:

1. Compra de matèries primeres. Per a elaborar la pasta, l’empresa ha de comprar oli, farina i sal de bona qualitat. La compra la pot fer a tres proveïdors diferents. El primer proveïdor ven l’oli a 3 €/L, la farina a 0,6 €/kg i la sal a 1 €/kg. El segon proveïdor ven l’oli a 3,5 €/L, la farina a 1 €/kg i la sal a 0,7 €/kg. Finalment, el tercer proveïdor ven l’oli a 2,5 €/L, la farina a 0,8 €/kg i la sal a 0,9 €/kg.

2. Elaboració, empaquetament i control de qualitat. Es fabrica i s’envasa la pasta. Posteriorment, es comprova que la pasta estigui ben feta i envasada correctament, i es verifica que els paquets pesin 500 g de mitjana.

3. Venda. L’estratègia de venda i el preu dels paquets es determinen fent un estudi de mercat.

• opció A (a) L’empresa necessita 300 litres d’oli, 700 kg de farina i 25 kg de sal. Escriviu aquesta informació juntament amb els preus per producte de cada proveïdor en forma matricial (deixant ben clar el que representen les files i les columnes) i calculeu mitjançant un producte de matrius el cost total de la comanda per cada proveïdor. Quin dels tres proveïdors és el més econòmic? [1,25 punts]

(Aa) 1345€ pel primer, 1767,50€ pel segon, 1332,50€ pel tercer.

Una pagesa contracta una empresa de conductors perquè li portin els tractors fins als pobles on han de treballar. Suposem que els conductors fan tot el trajecte a una velocitat constant.

(OPCIÓ A)

• b) Suposem que la pagesa hagi d’enviar tractors a poblacions que es troben a 100, 200 i 300 km de distància. Aquests tractors poden fer el trajecte a 35, 25 o 15 km/h. Construïu una matriu que contingui el cost total del viatge segons la distància a la qual es troba el poble (columnes) i segons la velocitat a la qual circula el tractor (files). Si en total ha de portar 3 tractors a una localitat que es troba a 100 km, 3 tractors a una localitat que es troba a 200 km i 2 tractors a una localitat que es troba a 300 km calculeu, mitjançant un producte de matrius, quant li costarà tot plegat segons si els tractors circulen a 35, 25 o 15 km/h. [1,25 punts]

Matriu A = ( 140 , 280 , 420 ; 148 , 296 , 444 ; 580/3 , 1160/3 , 580 )

Matriu B = ( 3 ; 3 ; 2 )

Matriu A·B = ( 2100 ; 2220 ; 2900 )

2.100 € si van a 35 Km/h

2.220 €, si van a 25 Km/h

2.900 € si van a 15 km/h

• a) Decidiu si la matriu P és invertible i, en cas de ser-ho, calculeu la seva inversa. Expliqueu detalladament el procediment seguit. [1,25 punts]

• b) Calculeu una matriu X de 3 files i 3 columnes que compleixi PX + Q = 2R. [1,25 punts]

(a) P^(-1) = ( 1 , -1 , 1 ; -2 , 3 , -2 ; -1 , 1 , 0 )

(b) X = ( 4 , 4 , 4 ; -8 , -8 , -8 ; 0 , -2 , -4 )

(a) La Laia va facturar 58 € al primer client, 86 € al segon i 24 € al tercer.

(b) Els noms personalitzats a 18€, les paraules decoratives a 16€ i les baldufes a 4 € 

• a) Calculeu les matrius A·B i B·A. [1,5 punts]

• b) Siguin C i D dues matrius quadrades del mateix ordre que satisfan C·D=C i D·C=D. Comproveu que les dues matrius, C i D, són idempotents. [1 punt]

Nota: Una matriu quadrada s’anomena idempotent si coincideix amb el seu quadrat.

(a) A·B=A ; B·A=B

• a) Comproveu que (A – 2I)2 = 3I. [0,5 punts]

• b) Utilitzant la igualtat de l’apartat anterior, trobeu la matriu inversa de la matriu A en funció de les matrius A i I, i comproveu que coincideix amb la matriu B. [1,25 punts]

• c) Calculeu la matriu X que satisfà la igualtat A · X = B. [0,75 punts]

(b) A-1 = ( 2 , -1 ; -3 , 2 )

(c) X = ( 7 , -4 ; -12 , 7 )

(a) ( 1/3 , 4/3 ; 4/3 , 1/3 )

(b) (1,0;0,1) ; (–1,0;0,–1) ; (0,1;1,0) ; (0,–1;–1,0)

Un centre cívic ofereix cursos de francès de nivell principiant, intermedi i avançat. Els alumnes inscrits, si ho desitgen, tenen garantida una plaça per al curs següent. És per això que, abans d’acabar el curs, es fan les reserves de plaça per al curs vinent. De l’alumnat de nivell principiant, un 15 % vol repetir el mateix curs, un 50 % vol fer el curs intermedi i un 5 % vol passar directament al curs de nivell avançat. Pel que fa a l’alumnat de nivell intermedi, un 10 % vol repetir el curs i un 60 % vol fer el curs de nivell avançat. Finalment, de l’alumnat de nivell avançat, un 20 % vol repetir el curs. Cap alumne no demana reserva de plaça per a un curs de nivell inferior i la resta d’alumnes no volen continuar al centre el curs vinent. Aquest any hi ha hagut 100 alumnes matriculats de nivell principiant, 90 de nivell intermedi i 60 de nivell avançat.

• a) Calculeu el nombre de places que cal reservar de cada nivell per al curs següent mitjançant un producte de matrius. [1,25 punts]

• b) El mateix centre cívic ofereix dos horaris de ioga, un de matí i un de tarda. Per al proper curs, el 50 % dels alumnes que actualment fan ioga al matí volen continuar amb el mateix horari, mentre que un 30 % volen passar a l’horari de tarda. La resta d’alumnes de matí no continuaran. Pel que fa als alumnes que actualment fan ioga a la tarda, un 40 % volen passar a l’horari de matí i un 60 % volen continuar fent l’horari de tarda. Si sabem que per al curs següent cal reservar 49 places per a l’horari de matí i 51 places per a l’horari de tarda, quants alumnes hi ha matriculats actualment en cada horari? [1,25 punts]

(a) cal reservar 15 places de nivell principiant, 59 de nivell intermedi i 71 de nivell avançat

(b) actualment hi ha 50 alumnes matriculats en l’horari de matí i 60 en l’horari de tarda

(a) a = 0

(b) A^23 = -A

(a) a = 0, b = -1/2 ; a = 2 , b = 1/2

(b) X = ( 2 , -1 ; 0 , 2 )

(a) ( 1,1,0 ; 0,-1,1 ; 0,0,1 ) ; ( -1,1,0 ; 0,1,1 ; 0,0,-1 )

(b) a=2 , b=1 , c=−1

(a) Si 𝑎≠±2, 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴 =3 ;  si 𝑎=2, 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴 =2 ;  si 𝑎=−2, 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴 =2

(b) SCI amb 1 grau de llibertat --> x = k ; y = −2k ; z = k

(a) La matriu A serà invertible quan 𝑎 ≠ 0 , 1 , 2

(b) X = ( −4 , 3 , 1 ; 13/3 , −3 , −1 ; −14/3 , 7/2 , 1 )

(a) C^2022 = I

(b) X = ( -3 , 3 ; -3 , 3 )

(a) a = 1

(b) A^(-1) = ( 1 , 1/2 ; 0 , 1/2 ) ; B^(-1) = ( 1/2 , -1/2 ; 0 , 1 )

(a) a ≠ 8/5

(b) X = ( 2 , -3 ; -1 , 6 )

X = ( -1 , 0 ; 0 , 2 )

(a) a ≠ 0, 1, 2

(b) X = ( −5 , −5 , −5 ; 6 , 6 , 6 ; −6 , −6 , −6 )

(a) X = ( 0 , 1 , −3 ; −3 , 0 , 1 ; 1 , −3 , 0 )

(b) M^(−1) = M^2 − 3M + 3𝐼 

(a) B^(−1) = ( 0 , 1 ; 1 , −1 )

(b) X = ( −18 , 24 ; 23 , −16 )

(a) X = ( 1 , 1 ; −3 , −4 )

(b) X^(−1) = ( 4 , 1 ; −3 , −1 )

(a) 𝑎≠1, 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=3 ; 𝑎=1, 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=2

(a) 𝑎≠3 i 𝑎≠5 , rang(A)=3 ; 𝑎=3, rang(A)=2 ; 𝑎=5, rang(A)=2

(a) a = ±√2

(b) M^(-1) = 1/2 · ( 0 , √2 ; √2 , -1 )

(a) A·B = (0,0;0,0) ; B·A = ( −4 , 2 ; −8 , 4 )

(a) M·N = ( 1 , t , 0 ; −1 , 0 , 1 ; 2−t , t^2 , 2t−2 )

(b) t ≠ 1 i t ≠ 2

(a) k ≠ 1 i k ≠ ±√2 ; matriu inversa = −1/6 · ( 3 , 1 , 3 ; 0 , 2 , 0 ; 3 , 3 , 9 )

(b) X = 1/6 · ( 0 , 2 , 6 ; 3 , 1 , 9 ; 6 , 4 , 12 )

(b) 1/2 · ( −1 , −2 , 3 ; 1 , 0 , −1 ; 2 , 2 , −2 )