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nº 43, diciembre de 2007
Las matemáticas en "La biblioteca de Babel"
F. Quirós Gracián (Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma de Madrid)
Combinatoria en la Biblioteca de Babel
A cada uno de los muros de cada hexágono corresponden cinco anaqueles; cada anaquel encierra treinta y dos libros de formato uniforme; cada libro es de cuatrocientas diez páginas; cada página, de cuarenta renglones; cada renglón, de unas ochenta letras de color negro.
El número de símbolos ortográficos es veinticinco.
¿Cuántos tomos hay en la Biblioteca de Babel?
Estamos ante un problema de combinatoria bastante simple. El primer paso es determinar el tamaño de un libro. Los libros que propone Borges tienen 410 páginas; cada página, 40 renglones; cada renglón, 80 caracteres. Cada libro contiene entonces
símbolos. Por otra parte, tenemos 25 símbolos ortográficos. Así que el número de libros posibles es
Ya tenemos una respuesta. Con el fin de hacernos una idea de su magnitud, convendría saber cuántas cifras tiene en el sistema de numeración decimal, que es, al fin y al cabo, al que estamos acostumbrados. Para contestar a esta nueva pregunta echaremos mano de los logaritmos.
Un número n tiene k cifras decimales
Concluimos que el número de cifras decimales de n es uno más la parte entera de log10n . En nuestro caso, obtenemos que el número de libros de la Biblioteca tiene 1+[1.312.000 x log1025] = 1.834.098 cifras decimales. Puede parecer una cantidad astronómica. Pues no: bastan sesenta cifras decimales para describir cualquiera de las cantidades que aparecen en astronomía. Por ejemplo, el Universo observable tiene un radio aproximado de 14 mil millones de años luz (la luz de objetos mas distantes no ha tenido tiempo de llegar a nosotros, pues el Universo tiene 14 mil millones de años de antigüedad), es decir, unos 1,3.1026 m (27 cifras) y se estima que contiene solo unas 3.1022 estrellas (23 cifras).
Uno: la Biblioteca es tan enorme que toda reducción de origen humano resulta infinitesimal. Otro: cada ejemplar es único, irreemplazable, pero (como la Biblioteca es total) hay siempre varios centenares de miles de facsímiles imperfectos: de obras que no difieren sino por una letra o por una coma.
¿Cuántos facsímiles imperfectos hay?
Veamos cuántos libros hay que difieran en k caracteres de un libro dado. Hay
posibilidades para la posición equivocada y 24 opciones para el símbolo de cada posición equivocada. En total,
facsímiles con k erratas. Por ejemplo, hay 1.312.000 × 24 = 31.488.000 facsímiles con una sola errata. ¡Borges se quedó corto!
Las Vindicaciones existen (yo he visto dos que se refieren a personas del porvenir, a personas acaso no imaginarias) pero los buscadores no recordaban que la posibilidad de que un hombre encuentre la suya, o alguna pérfida variación de la suya, es computable en cero.
Probabilidad de encontrar tu propia Vindicación[1]
Podría parecer que no es tan difícil encontrar un facsímil imperfecto de tu propia Vindicación. ¡Hay tantos! Pero para obtener la probabilidad tenemos que comparar el número de facsímiles imperfectos con el número total de libros de la Biblioteca , una cantidad que, recordemos, tiene por encima de un millón ochocientas mil cifras decimales. Vamos a estimar esta probabilidad.
No está claro cuál es número de erratas por encima del cual un libro deja de ser reconocible. Supongamos que es la mitad de los símbolos del libro (probablemente con un número mucho menor ya no se entiende nada de nada). ¿Cuántas versiones hay de una Vindicación que tengan a lo sumo la mitad de sus símbolos equivocados? Esta cantidad viene dada por la suma
Tanto el número combinatorio como la potencia crecen con k en el rango considerado, de manera que
Para estimar el lado derecho de esta cota utilizaremos la famosa fórmula de Stirling, llamada así en honor del matemático escocés James Stirling (1692-1770), aunque parece ser que el primero en descubrirla fue Abraham de Moivre (1667-1754): si un número N es grande, entonces N! se parece mucho a
En nuestro caso N = 1.312.000, así que tanto N como N/2 son números grandes. Por consiguiente, se cumple aproximadamente que
Tomando logaritmos decimales, vemos que nuestra cota aproximada tiene solo 1.300.373 cifras decimales. Así que la probabilidad de encontrar algo que se parezca mínimamente a tu propia Vindicación es, a lo sumo, del orden de 1/10533.725 , una cantidad realmente despreciable. Aquí Borges sí tenía razón…
[1] Una Vindicación es un libro que justifica o defiende a una persona.
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