En el artículo El caos y la física hemos visto en qué consiste el comportamiento caótico de un sistema, en Simulando el comportamiento caótico se muestran algunos ejemplos que nos ayudan a comprender el comportamiento de un sistema caótico, y aquí vamos a presentar una introducción al tratamiento matemático y físico que se puede dar a los sistemas caóticos para facilitar su comprensión y análisis.
El caos es per se impredecible, ¿Quiere decir ello que se debe renunciar a su análisis físico matemático? En absoluto, sin embargo se requiere una metodología diferente. Por ejemplo el análisis de estos sistemas se hace en el llamado espacio de fases, un espacio en el que está representadas todas las variables dinámicas del sistema. Por ejemplo, el espacio de fases de un péndulo simple se representaría en función de su posición y su velocidad.
A cada instante de la evolución del sistema le corresponde un punto en este espacio de fases, estos pues se sitúan en las llamadas "trayectorias", que no tienen nada que ver con el "recorrido espacial de las partículas" y el conjunto de trayectorias constituyen el retrato de fenómeno. Es fácil comprobar que en el caso del péndulo simple ese retrato de fases será una circunferencia como la que se muestra en la figura
En cambio en un péndulo amortiguado estará representado por una espiral que acabará en el origen. Tal como se ve en la siguiente figura.
Estos retratos de fases en general se aproximan cuanto se quiera a una determinada figura geométrica, es el atractor.
En los sistemas no caóticos el atractor suele ser un punto, una circunferencia o un toro (una figura con forma de rosquilla o neumático hinchado). En los sistemas con caos, el atractor presenta una forma "extraña", y se caracteriza por no tener una dimensión entera y ser sibi semejante, en suma ser un FRACTAL.
El análisis del atractor es pues una indicación del carácter caótico del fenómeno.
También proporciona mucha información respecto a la evolución del suceso el ritmo con que se pierde la información. Esta medida puede hacerse utilizando diferentes parámetros, por ejemplo el exponente de Lyapunov. Este cuantifica la velocidad con que se separan dos trayectorias inicialmente próximas del espacio de fases. Para su comprensión valga un ejemplo:
Imaginemos dos soldados que marchan en un desfile. Si medimos su distancia mutua en un momento del desfile y volvemos a repetir la medida un tiempo después, esta distancia prácticamente será la misma. Como el exponente de Lyapunov se mide de forma exponencial, será nulo o negativo (las filas se aproximan), incluso. Los soldados evolucionan en una rígida y ordenada formación. Sin embargo si se mide esta distancia después de que se haya dado la orden de rompan filas, cada soldado tomará su camino, la distancia crecerá, el exponente, será positivo, hay desorden, la fila ordenada se ha descompuesto.
Otro parámetro muy usual es la Entropía de Kolmogorov, a semejanza con la entropía termodinámica, mide la perdida de información que experimenta el sistema en su evolución y normalmente se expresa en Bit/ s, siendo el bit el habitual dígito binario (1 ó 0).
En sistemas deterministas no hay pérdida de información, en consecuencia la entropía de Kolmogorov es nula. En sistemas absolutamente aleatorios se pierde toda la información, la entropía de Kolmogorov tiende a infinito. En sistemas caóticos toma valores altos pero finitos.
En resumen el caos es ubicuo y es una representación real de la naturaleza, sin embargo su tratamiento no es imposible y abre una muy interesantes perspectivas a la investigación científica en todos los campos.