Imaginemos que un amigo nos plantea el siguiente juego: "He pensado un número natural del 1 al 10. Intenta adivinarlo, y para ello puedes utilizar tantos intentos como desees".
Evidentemente, este juego es muy fácil de ganar, ya que iremos diciendo sucesivamente los números del 1 al 10, y acertaremos alguna de las veces.
Vamos a suponer que el tiempo no es un problema, que somos "inmortales", y expongamos un juego algo más complicado. Nuestro amigo nos dice ahora : "He pensado un número natural. Intenta adivinarlo, y para ello puedes utilizar tantos intentos como desees".
Nuevamente, ya que podemos hacer todos los intentos que queramos, este juego siempre lo ganaríamos. Por muy alto que sea el número que haya pensado nuestro amigo, podemos ir diciendo en orden los números naturales y alguna vez lo acertaríamos, aunque para ellos pasasen siglos o millones de años.
Podemos seguir complicando ligeramente el juego, si ahora nuestro amigo en lugar de pensar un número natural pensase un número entero. ¿Podemos encontrar alguna estrategia que nos garantice que alguna vez lo acertemos?
En este caso, la estrategia de ir diciendo 1, 2, 3, 4, .... y así sucesivamente, no sería válida, ya que si nuestro amigo hubiese pensado un número negativo nunca ganaríamos.
Sin embargo, si los intentos que fuésemos haciendo siguiesen este orden: 0, 1, -1, 2, -2, 3,-3, 4, -4, ... y así sucesivamente, tendríamos garantizada la victoria en este juego . Por tanto, sí existe una estrategia que nos conduciría a la victoria segura.
Por último, podemos complicar el juego nuevamente, suponiendo ahora que nuestro amigo ha pensado una fracción y que tenemos que adivinarla. ¡Ahora sí que parece imposible encontrar una estrategia que nos permita acertar alguna vez el número que ha pensado, por muchos intentos que tengamos!
Fue a finales del siglo XIX cuando un genio de las Matemáticas, llamado G. Cantor, dedujo la solución de este problema, lo que provocó un gran interés en la comunidad científica.
Aunque su método, llamado de "diagonalización", no es excesivamente complicado, mostraremos otra estrategia muy sencilla para acertar alguna vez la fracción que hubiese pensado nuestro amigo.
Para encontrar la solución vamos a crear una lista ordenada, en la que vamos a ser capaces de incluir todas las fracciones que existen. La confeccionaremos de la siguiente forma: El primer intento será con la fracción 0/1 , es decir, la única fracción que al sumar numerador más denominador (en valor absoluto) obtenemos de resultado 1. A continuación pondremos en nuestra lista todas las fracciones que nos den 2 al sumar los valores absolutos de numerador más denominador, es decir, -1/1 ,0/2 y 1/1 . Las siguientes fracciones que incluiremos serán aquellas cuya suma de valores absolutos de numerador y denominador es 3, es decir, -2/1 , -1/2 , 0/3 , 1/2 y 2/1 . Y así sucesivamente iríamos incluyendo las fracciones cuya suma (en valor absoluto) de numerador más denominador sea 4, 5, ....
¿Hemos incluido todas las fracciones que existen dentro de nuestra lista? Pensando un poco, nos daríamos cuenta de que sí, que no se quedaría ninguna fracción fuera de nuestra lista: si la fuésemos recitando llegaría con toda seguridad un momento en el que acertaríamos el número que ha pensado nuestro amigo.
Podemos dar un paso más, y ponernos a pensar sobre si seríamos capaces de hacer una lista similar, en lugar de con las fracciones, con el conjunto de los números reales (recordemos que el conjunto de los número reales recoge todos los números que se pueden expresar mediante un desarrollo decimal, aunque este desarrollo sea infinito no periódico).
La respuesta también la consiguió dar Cantor antes del siglo XX, y es, en este caso, negativa: no es posible construir una lista ordenada en la que aparezcan todos y cada uno de los números reales que existen.
Por tanto, si en el juego que planteamos al comienzo, nuestro amigo pensase un número real al azar, no existe un método que nos garantice la victoria segura en este juego.
Bibliografía:
A. Joyal. "Algebraic set theory". Ed. Cambridge University Press.
D. Monk. "Introduction to Set Theory". Ed. McGraw-Hill.