Piotr Orzeszek: Ciąg liczb Fibonacciego, czyli o pięknie i harmonii w przyrodzie

Świat otaczającej nas przyrody i świat nauki formalnej, jaką jest matematyka, są na ogół postrzegane jako niezwiązane ze sobą. Doskonałość roślin i zwierząt – ich nieskończona różnorodność wzorów i wielorakość form – nie wydaje się opisywalna za pomocą prostego, matematycznego równania.

Leonardo Pisano (1175–1250), znany także jako Fibonacci, w dziele Liber abaci postawił następujący problem, który stał się źródłem inspiracji dla wielu matematyków. W chwili 0 urodziła się para królików. Po okresie miesiąca para ta osiągnęła dojrzałość i po następnym miesiącu wydała na świat kolejną parę. Każda nowo narodzona para po miesiącu osiągała dojrzałość i rozpoczynała płodzenie potomków. Jeśli założymy, że króliki nie umierają, to jaka będzie liczba par po n miesiącach? Omawianą zależność, zwaną ciągiem Fibonacciego, można opisać formalnie:

Ta prosta matematyczna idealizacja posiada pewne cechy, które powodują, że staje się zadziwiająca. Nie chodzi bynajmniej o to, że jest przykładem bodaj najstarszego znanego ludzkości zastosowania rekurencji. Nie musi też wydać się niezwykłym, że wartości ilorazu dowolnej liczby ciągu i liczby ją poprzedzającej są obustronnie zbieżne do wartości liczby znanej światu antycznemu jako proportio divina – boskiej proporcji. Nie sposób jednak uniknąć pytania, dlaczego ta sama formuła perfekcyjnie opisuje kształt muszli skorupiaków, rozmieszczenie ziaren w owocach ananasa, kształt szyszki świerkowej czy układ pestek słonecznika. Przyroda odznacza się pewnym szczególnym rodzajem symetrii, zwanej filotaksją, która obecna jest zarówno w układzie liści na pędzie lipy amerykańskiej, leszczyny, brzozy czy buka, jak też w strukturach mikroorganizmów (chociażby flagelli Salmonelli). Ową filotaksję wyznaczają kolejne rozwinięcia ciągu Fibonacciego.

Odnosi się wrażenie, że te rozważania prowadzą nas do wniosku o przedziwnej matematyczności przyrody, o matematyczności otaczającego nas świata. Matematyczną idealizację, mająca swój początek w przyrodniczym zjawisku rozmnażania się królików (analizowanym i opisywanym przez Fibonacciego), sprowadzoną do abstrakcyjnej arytmetycznej formuły, ponownie można odnaleźć w zjawisku filotaksji u roślin i perfekcyjnym opisie kształtów muszli. Powszechna obecność w otaczającej nas rzeczywistości zarówno tej formuły, jak i proportio divina, zachęca do ponownego postawienia pytania: czy świat jest matematyczny? A także: czy matematyka jest wykładnią piękna otaczającej nas przyrody?