Noemi Cieślińska: Piękno tkwiące w ścisłości dowodów matematycznych

Celem mego referatu będzie pokazanie, że piękno tkwiące w świecie matematyki wynika z jednoznaczności pojęć, ścisłości w rozumowaniu oraz z poprawnego stosowania reguł wnioskowania. Dzięki takiemu traktowaniu problemów matematycznych, otrzymujemy wspaniały świat, w którym nie ma miejsca na kłamstwo czy półprawdy. Nie znaczy to jednak, że ludzie zajmujący się matematyką nigdy nie popełniają błędów. Nie świadczy to także o tym, iż zawsze należy wierzyć matematykowi. Sprytny uczony może przedstawić rozumowanie wyglądające na poprawne, ale prowadzące do nieprawdziwych rezultatów, jednak nie w celu oszukania kogoś, lecz zmotywowania do uważniejszego przyjrzenia się problemowi i nauczenia poprawnego wnioskowania, poprzez samodzielne poszukiwanie błędów w rozumowaniu naukowca.

Ścisłość w matematyce jest bardzo istotna, podobnie precyzyjne formułowanie pojęć. Aby to udowodnić – na zasadzie dowodu nie wprost – podam przykłady sofizmatów i aporii w matematyce. Sofizmaty są to techniki wykorzystujące błędne stwierdzenia i luki w rozumowaniu, w celu wyprowadzenia fałszywych twierdzeń. Przykładowo, „wykażę”, że 3=5, oraz „udowodnię”, że wszystkie koty są czarne.

Z kolei aporia to takie rozumowanie, które prowadzi do zaskakującej tezy – nie możemy rozstrzygnąć, czy jest to paradoks, czy też sofizmat. Podam przykłady kilku już rozstrzygniętych aporii: „odcinek bez długości”, wartość sumy nieskończonego szeregu: 1-1+1-1+… , aporie Zenona z Elei.

Kierowanie się intuicją i tym, co „widać na rysunku”, może być pomocne w zrozumieniu matematyki, rozwiązaniu zadania czy stawianiu nowych hipotez, ale niekiedy okazuje się bardzo zwodnicze. Jako przykład wyprowadzenia fałszywego wniosku na podstawie rysunku, przytoczę zagadkę Lewisa Carrolla (matematyka, słynnego przede wszystkim jako autor Alicji w Krainie Czarów), w której wychodzą takie sprzeczności, jak na przykład: 65=64. Co więcej, to zadanie opiera się na pewnej bardzo ciekawej zależności matematycznej, związanej z ciągiem Fibonacciego.

To wszystko pokazuje, że nawet niewielka nieścisłość w rozumowaniu może doprowadzić do absurdalnego i błędnego wniosku. Właśnie dlatego każda nowa teoria, nowy dowód, zanim zostanie oficjalnie przedstawiony i zaakceptowany, musi być dokładnie sprawdzony pod względem poprawności.

Stąd wynika piękno precyzyjnych dowodów matematycznych oraz formalnych teorii – piękno dążenia do budowania doskonałej struktury bez miejsca na wewnętrzną sprzeczność.