Sezione Aurea

Ci sono antiche questioni che hanno tormentato ed ispirato uomini dalla mente matematica fin dalle origini. Un numero che ha una sua storia millenaria e che spesso è tornato in auge per i motivi più svariati è la sezione aurea (goden ratio in inglese), è detto anche proporzione divina (serve aggiungere altro?). I primi a parlarne furono i grandi studiosi di geometria greci, passando poi per le geniali menti dei matematici italiani del medioevo, passando per un famoso astronomo tedesco fino ad arrivare ad un capitolo conclusivo (per l’aspetto matematico) un paio di secoli fa grazie ad un’eccelsa mente francese.

Beh, insomma, non cincischiamo. La definizione riportata di seguito è banale (anche se a mio avviso è ben più chiara in formula che a parole).

Il rapporto aureo (altro nome della sezione aurea) non è nient’altro che il rapporto tra due lunghezze (quindi numeri positivi) e viene denominato con la lettera greca phi (Φ).

Siano a e b tali lunghezze, con:

Voglio che il rapporto fra a e b sia lo stesso che fra la loro somma ed a.

Ovvero il rapporto aureo è il rapporto tra due lunghezze diverse la cui proporzione fra la maggiore e la minore è la stessa che tra la somma delle due e la maggiore.

Insomma, in formula che è molto più chiaro:

Questo numero (che calcoleremo a breve) ha un sacco di proprietà incredibili o quantomeno curiose. Vediamone le tre più salienti.

1)

Il rapporto aureo si può calcolare come rapporto tra a e la somma di a+b oppure come rapporto tra b e la differenza a-b.

Da cui si ricava:

2)

Il rapporto aureo è pari al suo inverso più uno.

Da cui si ricava:

3)

Il rapporto aureo è un numero irrazionale.

Per dimostrare tale tesi ne calcoleremo finalmente il valore, partendo dalla [GR4] si ricava immediatamente che il rapporto aureo è soluzione dell’equazione di secondo grado seguente:

che ha soluzioni:

La sezione aurea è dunque la radice positiva:

Denotiamo come segue l'altra radice:

A questo punto vi chiederete il perchè la sezione aurea sia così nota ed abbia avuto così tanto peso nella storia, tanto da aver acquisito l’aggettivo aurea. Oltre all'incredibile fascino dovuto all’alone di mistero e magia che nell’antichità avevano i numeri irrazionali (ci si rendeva conto che c’era qualcosa che non si poteva calcolare completamente ed l concetti di infinito, limite e serie erano ancora ben lungi dall’essere afferrati) penso che il maggior merito vada al rettangolo aureo che venne definito addirittura da Euclide.

Guarda caso tale rettangolo ha i lati che sono in rapporto aureo ed è molto semplice da costruire con riga e compasso.

Avete un bimbo? Volete che disegni un rettangolo aureo? Righello e compasso (attenti che punge), disegnate un bel quadrato, trovate in punto medio di un lato, puntate il compasso lì, apertura fino ad uno dei vertici opposti del quadrato un bel arco di circonferenza e guardando la figura che segue capirete che il gioco è fatto con il disegno di tre ulteriori segmenti!

Non chiedetemi assolutamente il perché ma venne fin da subito considerato armonioso, tanto da essere considerato il rettangolo più bello, dunque utilizzato da architetti, pittori e scultori per definire dei rapporti fra dimensioni di figure, immagini, sculture, opere architettoniche, etc…

Questo numero personalmente mi affascina in quanto trovo incredibile come il rapporto aureo si sia intrecciato nella storia con eccelse menti, tra le quali senz’altro la coincidenza più eclatante è come si sia legato con il nome del grande Fibonacci.

Allo scopo di analizzare la successione di Fibonacci e ricavarne l'intrinseco legame con la sezione aurea, riportiamo un alcuni legami fra le due radici [GR6] e [GR7] dell'equazione [GR5] che ci torneranno decisamente utili allo scopo.

a)

Si sarà già intuito osservando la [GR6] e [GR7] che:

Di conseguenza:

Infatti:

b)

Vale la seguente:

Infatti applicando la [GR8] e successivamente la [GR4] si ha: