Leibniz formula

Formula di Leibniz

Passiamo ad un metodo sicuramente più "moderno" del precedente, le nozioni matematiche che stanno alla base di questi calcoli necessitano di maggiori conoscenze, le quali hanno avuto bisogno di parecchi secoli per essere elaborate.

La formula di Leibniz per il calcolo di Π è decisamente semplice ed è basata su di una semplicissima serie alternata :

Per la cronaca, si dimostra facilmente mediante il criterio di convergenza di Liebniz (guarda un pò il caso), che la serie numerica è convergente (ma va?).

La domanda successiva che ci si pone è. "A quanto converge questa serie?". Ci si accinge nel seguito a dimostrare che:

Vedremo in poche righe che questa serie converge effettivamente ad un quarto della costante di Archimede. Come? Semplice, usando l'arcotangente! Ecco... Forse non viene così spontaneo, però il trucco sta tutto qui.

Sia nota la formula dello sviluppo in serie di MacLaurin per una funzione:

La si applichi alla funzione arcotangente, si ottiene:

A questo punto il gioco è fatto, basta porre "x" pari all'unità e si ricava:

NOTA: Per ottenere lo sviluppo in serie dell'arcotangente il modo più semplice è dividere lo sviluppo in serie del coseno per quello del seno. Ricavare lo sviluppo in serie del seno (e similmente quello del coseno) è abbastanza facile data la formula dello sviluppo in serie di MacLaurin, e lo si lascia al volenteroso lettore (quanto odiavo quando lo trovavo scritto nei libri di testo).

NOTA: Ci rimarrebbe ad onor del vero dimostrare anche che la [PiL 3] e che il criterio di convergenza sono veri, ma facciamo per ora un atto di fede, non ho voglia di recuperare i libri di analisi e mi pare pure esuli dallo scopo di questa sezione.

Implementazione

Qui l'implementazione è ancora più banale del metodo precedente ed i calcoli sono veramente veramente facili. Come per il caso precedente ci armiamo di foglio di calcolo e

Ci si accorge subito che questa serie convergerà sì ad un quarto di Pi ma lo fa lentissimamente!

RIporto nella tabella i calcoli ogni 50 iterazioni, noterete che dopo 500 iterazioni siamo ancora molto lontani da un'approssimazione accettabile di pigreco.

TABELLA1: Valori ottenuti ogni 50 iterazioni della formula di Leibniz per la stima di PI

Qui è interessante anche vedere il grafico delle iterazioni, come ci si può aspettare la stima "oscilla" attorno al valore di pigreco.