Successione di Fibonacci

Qualche decennio prima della nascita del sommo poeta la terra toscana diede i natali ad un altro geniale uomo, tal Fibonacci. A questo uomo si deve l’introduzione del sistema delle nove cifre numeriche arabo/indiane in Europa nonchè l’adozione del segno 0… Mica niente!

E’ comunque sia divenuto famoso più che per questo per l’invenzione di una successione numerica, inconsapevolmente introdusse nella storia la prima serie numerica.

Insomma, la definizione della serie è semplicissima. Si prendano come primi due numeri 0 ed 1, tutti i successivi sono calcolati mediante la somma dei precedenti 2. Quindi si ha:

0

1

1  = 0+1

2  = 1+1

3  = 2+1

5  = 3+2

8  = 5+3

13 = 8+5

21 = 13+8

...

Insomma, una successione semplicissima! Eppure gli ha dato notorietà per i secoli a venire fino ai giorni nostri!

Coincidenza incredibile di cui Fibonacci era all’oscuro è che il rapporto di due cifre contigue approssima la sezione aurea! Questo fatto venne scoperto dal grande astronomo tedesco Keplero che però non ne indagò il perchè (era occupato a scrutare gli spazi siderali).

Arrivò poi nell’800 Binet, un matematico francese che riuscì a dimostrare la cosa trovando la formula per definire l’ennesimo numero della serie di Fibonacci senza calcolare i precedenti. Quest’uomo era un genio, non ci piove! Questa formula è quantomeno affascinante, il fatto poi che sia relativamente semplice da calcolare, nonchè il tutto sia indissolubilmente legato alla sezione aurea la rende prodigiosa.

Partiamo scrivendo un semplice sistema di due equazioni:

La prima equazione è la definizione della successione di fibonacci, la seconda è l’identità, eppur essendo banale è il vero colpo di genio del tutto. Com’è possibile? Beh, scriviamo il tutto in forma matriciale.

A questo punto è semplice rendersi conto che sfruttando quanto appena fatto è semplice riscrivere l’equazione come:

Reiterando il procedimento troviamo:

Ovvero:

A questo punto è fatta! Cioè, risolvere questa equazione matriciale mi ha fatto sudare parecchio, ma è solo l’applicazione di formule dimenticate in qualche cassetto della memoria che ho dovuto rispolverare, arrivati qui (e come abbiamo visto è veramente semplice arrivarci) il gioco è sostanzialmente fatto!

Passiamo però a fare di conto per saltarne fuori e poter così gonfiare il petto tronfi.

PASSO 1:

Decidiamo di procedere diagonalizzando la matrice 2x2 che chiamiamo A.

Ci dobbiamo dunque chiedere, la matrice è diagnonalizzabile?

Ci viene in aiuto il Teorema di diagonalizzabilità e dunque il polinomio caratteristico della matrice definito come:

Prima di tutto dunque troviamo gli autovalori, ovvero le radici della [FS4], ovvero le soluzioni della sequente:

Con un paio di aggiustamenti:

Si trova che i due autovalori sono dati dalla risoluzione della seguente equazione di secondo grado:

E qui un brivido corre lungo la schiena, l’equazione di cui sopra è proprio la [GR5] che ha come soluzione positiva proprio il rapporto aureo, ricordando le [GR6] e [GR7] del paragrafo sulla sezione aurea, i due autovalori sono:

Quindi la matrice ha 2 autovalori distinti di molteplicità 1, questo ci permette di concludere (per il teorema della diagonalizzazione) che la matrice è diagonalizzabile in quanto:

- la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori è pari alla dimensione della matrice;

- la molteplicità geometrica di ciascun autovalore coincide con la molteplicità algebrica.

Per rinfrescare un pò la memoria per chi come me non aveva a che fare con autovettori, autovalori e molteplicità geometrica da molto tempo, la molteplicità geometrica è la dimensione dell’autospazio generato dall’autovalore, nel caso che l’autovalore abbia molteplicità geometrica pari a 1 la molteplicità geometrica per forza di cose vale 1 (è minore o tuttalpiù uguale alla molteplicità algebrica ma è nulla solo per le matrici nulle).

PASSO 2:

Diagonalizziamo la matrice.

La matrice è diagonalizzabile dunque possiamo esprimerla come segue:

Dove D è diagonale e con i valori della diagonale principale pari agli autovalori calcolati al passo precedente. Mentre le colonne di P sono dei vettori che formano una base spettrale nello spazio che stiamo considerando.

Come calcolare questi vettori?

Si prende l’autospazio di ogni autovettore e se ne trova una base, in soldoni nel nostro caso ci si riduce a trovare una soluzione non nulla delle seguenti:

Procediamo con il primo autovalore:

Sviluppando il tutto in un sistema di equazioni si trova:

Riconoscendo subito nella prima delle due equazioni la [GR5], possiamo dire che la prima colonna della matrice diagonalizzante sarà:

Del tutto analogamente si ricava che:

Quindi si ha che:

La matrice inverssa della matrice diagnoalizzante è:

Ovvero:

A questo punto conviene assicurarsi che quanto calcolato sia coerente con la [FS6], oppure del tutto analogamente che:

Sostituendo le matrici all’equazione ricaviamo:

I due valori nella diagonale secondaria sono nulli per la [GR5], inoltre per le [GR4], [GR8] e [GR9] ricaviamo:

Quindi la [FS9] è verificata e possiamo procedere tranquilli.

PASSO3:

Risolviamo l’equazione [FS2]. Dunque visti i due passi precedenti intuirete dove voglio andare a parare.

Procediamo:

Sostituendo le matrici ricaviamo:

Dopo qualche semplice calcolo troviamo:

Ed a questo punto abbiamo quindi ricavato la formula di Binet, ovvero:

Non è strabiliante che potenze di numeri irrazionali ritornino un numero naturale?

Semplicemente stupefacente!

Questa formula matematica è di incredibile bellezza!

PASSO4:

Grazie alla [FS10] è banale dimostrare che la successione di Fibonacci tende alla sezione aurea:

Ricordando [GR7], dunque il modulo della secondo autovettore è inferiore a 1, si ha immediatamente quello che intuì Keplero e che volevamo fin dal principio: