Integrale di Gauss

Una dimostrazione spettacolare è la risoluzione dell'integrale di Gauss o integrale di probabilità, che è questo qui:

Perchè mi piace? Perchè è frutto di un paio di trucchetti che oserei definire artistici.

Il primo è quello di portare l'integrale da una a due dimensioni con dei passaggi semplici semplici:

A questo punto ecco il secondo trucchetto, meno banale del primo, anche se non troppo difficile ed incredibilmente geniale in funzione a quanto appena trovato. Passiamo dalle coordinate cartesiane alle coordiante polari:

Si ricava dunque che:

A questo punto il gioco è fatto, la risoluzione del primo dei due integrali è banale, il secondo si ricava facilmente per sostituzione, si ha infine:

E con questo si conclude.