Pin-hole camera model, introduction

1 Modello pin-hole e modello prospettico

E’ necessario inanzitutto definire un modello adeguato di telecamera.

Il più utilizzato è il modello pin-hole (foro di spillo) che rispecchia la costruzione della prima camera oscura.

La telecamera viene approssimata con una scatola nera che ha su di una faccia un foro (di dimensioni infinitesime). Si pensi ora di porre un oggetto dinnanzi al foro, la radiazione luminosa passando attraverso il foro proietterà l’immagine rovesciata dell’oggetto stesso sul fondo della scatola (detto piano immagine).

Per ragioni pratiche spesso si vuole pensare all’immagine rilevata diritta, per tal motivo si può ipotizzare di frapporre la superficie dove verrà proiettata l’immagine tra l’oggetto ed il foro, tale proiezione è detta immagine virtuale.

Si veda la figura che segue per un esempio esplicativo.

Questo modello di formazione dell’immagine è detto modello prospettico.

Il modello prospettico è senz’altro una semplificazione di quanto avviene in realtà in quanto non vengono prese in considerazioni le lenti nonchè il foro si ipotizza di dimensioni infinitesime. Nonostante tali limitazioni riesce comunque a modellare tutti gli effeti caratteristici della visione prospettica, quali:

• un oggetto sembra tanto più piccolo quanto più e lontano;

• due linee parallele che si allontanano dall’osservatore sembrano intersecarsi ad una distanza infinita.

1.1 Trasformazione prospettica

Ricaviamo ora la descrizione matematica del modello prospettico.

Si consideri la figura seguente:

Si consideri un sistema di riferimento in cui l’origine (O) coincida con il foro, con gli assi delle ascisse ed ordinate che definiscono un piano parallelo a quello immagine, il restante asse sia perpendicolare al piano immagine e congiunge l’origine al centro del piano immagine (C), tale asse viene chiamato asse ottico. L’origine O risulta ad una distanza nota (f) dal piano immagine, tale distanza è detta distanza focale ed è pari anche alla distanza fra il foro (origine) ed il piano dell’immagine virtuale. Il centro del piano immagine (C) sia inoltre origine del sistema di riferimento del piano immagine i cui assi delle ascisse ed ordinate vengono scelti con stessa direzione e verso degli assi del sistema di riferimento appena costruito sul foro (O).

Tutte le entità appena nominate sono chiaramente identificabili nella figura di cui sopra.

A questo punto esaminiamo una sola sezione riferita ad un asse del piano immagine (per quanto concerne l’altro i risultati saranno del tutto analoghi). Si veda la figura che segue.

Si ricava in modo decisamente semplice che i due triangoli rettangoli in figura sono simili, applicando lo stesso principio al rimanente asse del piano immaginario, si ricava per via geometrica in modo molto semplice che valgono le seguenti equazioni:

Da queste si ricavano direttamente le equazioni di trasformazione prospettica:

Dalle [CM1] si ricavano facilmente alcune proprietà della proiezione prospettica:

• le equazioni non sono lineari;

• tutti i punti nel mondo tridimensionale reale appartenenti ad una stessa retta passante per O sono mappati nel medesimo punto del piano immagine;

• le distanze fra i punti non sono conservate e con esse non è conservata la forma degli oggetti. Tale effetto è noto come distorsione prospettica e scompare solo nel caso di proiezione orografica (in tal tipo di proiezione prospettica la distanza focale è in finita);

• la dimensione di un oggetto nel piano immagine diminusce all’allontarnarsi dell’oggetto nel mondo reale dal centro di proiezione;

• la trasformazione prospettica preserva le rette;

• sono possibili più punti di fuga, un punto di fuga non è nient’altro che il punto verso il quale linee parallele nel mondo reale sembrano convergere proiettate nel piano immagine.