Homogeneous coordinates

2 Coordinate omogenee

Nel paragrafo precedente abbiamo introdotto il modello pin-hole e ricavato le equazioni prospettiche.

E’ facile riscrivere le [CM1] in altra forma, evitando così di effettuare una fastidiosa divisione e riscrivendo il tutto in forma matriciale. Si ha così una equazione espressa utilizzando le comode coordinate omogenee (tipiche della geometria proiettiva):

Dove

NOTA: Abbiamo cambiato notazione dei punti per non utilizzare troppi pedici e rendere più leggibili le formule, si noti che:

NOTA IMPORTANTE: L'uso delle coordinate omogenee è principalmente giustificato dal fatto che il sistema di equazioni non lineari (CM1) divengono l'equivalente equazione matriciale lineare (CM2).

E’ giusto aprire una parentesi su cosa sono le coordinate omogenee e le loro proprietà. Tale strumento matematico venne introdotto da Möbius (famoso per il suo nastro) e sono utilizzate proprio per descrivere le proiezioni.

Dato un punto (nello specifico nello spazio tridimensionale):

Si definiscono coordinate omogenee di tal punto il seguente vettore :

tale per cui valgono le seguenti:

Come si noterà immediatamente, questo sistema di equazioni è strettamente legato alle equazioni di proiezione prospettica trovate nel paragrafo precedente (e non è per nulla un caso).

2.1 Proprietà

Le coordinate omogenee hanno delle peculiarità che le rendono decisamente comode ai nostri scopi e che ne hanno determinato il largo utilizzo nel campo della robotica e della visione.

2.1.1 Proprietà fondamentale

Le coordinate omogenee di un punto (in coordinate cartesiane) sono definite a meno di un fattore di proporzionalità (nelle coordinate omogenee).

La dimostrazione è banale, due punti con coordinate omogenee proporzionali rappresentano lo stesso punto in coordinate cartesiane:

2.1.2 Punti Impropri

Le coordinate omogenee con coordinata w nulla sono detti punti impropri, tali punti apparentemente non hanno significato nello spazio cartesiano in quanto danno una divisione per zero, in realtà rappresentano una direzione. E’ facilmente dimostrabile quanto appena asserito con l’ausilio del grafico che segue, nel quale, consideriamo punti omogenei di dimensione 3 (che dunque rappresentano punti in un piano bidimensionale nelle coordinate cartesiane).

Facendo tendere w a 0 le coordinate (cartesiane) del punto P tendono ad infinito rimanendo però lungo la retta OP che ne dà la direzione. Tale concetto rimane del tutto valido per le coordinate omogenee di dimensione 4 (e quindi coordinate cartesiane tridimensionali).

La coordinata w rappresenta a tutti gli effetti un valore di scala e nei campi di applicazione delle coordiante omogenee viene imposto:

In tal modo le coordinate cartesiane e quelle omogenee risulteranno essere coincidenti (ovviamente coordinata omogenea w a parte).

2.1.3 Versori ed origine

Per quanto appena visto si ha che i seguenti punti impropri rappresentano i versori dei tre assi cartesiani:

Mentre questo vettore rappresenta l’origine del sistema di riferimento cartesiano:

2.1.4 Coordinate omogenee, vantaggi

E’ bene sottolineare quali sono i due grandi vantaggi della rappresentazione con coordinate omogenee:

• • si possono rappresentare punti all’infinito (imponendo w = 0, come visto nel paragrafo precedente);

  • si possono esprimere le trasformazioni di coordinate, in particolare le rototraslazioni, in forma matriciale.

Le rototraslazioni assumono estrema importanza nel caso delle calibrazioni, vedremo nel paragrafo che segue come sono rappresentabili ed utilizzabili.