Kalman Filter, Example 1 (constant measurement)

DEFINIZIONE

Partiamo con l’esempio più semplice in assoluto, si voglia stimare una grandezza che è noto a priori essere una costante scalare con uno strumento che ritorni direttamente tale grandezza con un dato errore di misura.

Ad esempio si voglia misurare una tensione continua utilizzando un voltmetro.

MODELLO

Il sistema risulta essere:

Banalmente:

Le condizioni iniziali saranno:

Come sempre accadrà risulta fondamentale scegliere le varianze in modo corretto, molto meno problematica è la scelta dei valori iniziali (il filtro converge velocemente).

Nel nostro caso sono state scelte:

• una deviazione standard molto piccola dell’errore di modello. Questo perchè è molto accurato, non è bene impostare tale valore a 0 per mantenere una flessibilità nella regolazione del filtro;
• una deviazione standard di almeno un ordine di grandezza maggiore per l’errore di misura, lo strumento introduce un errore di misura (in molti casi la deviazione standard è riportata nelle specifiche tecniche).

Nello specifico:

SIMULAZIONE

Utilizzando Octave procediamo a fare alcune simulazioni (in allegato a fondo pagina trovate il file del progetto utilizzato). Ne riportiamo qui di seguito un paio.

FIGURA 1: Simulazioni, cliccare sui grafici per ingrandire

Si nota immediatamente dai grafici come il valore restituito dal filtro (in blu) sia molto più vicino al valore ideale (in rosso) rispetto al valore misurato (in verde). Si nota inoltre che comunque si sia scelto il valore iniziale il filtro converge in pochissime misure al valore corretto.

La proprietà di convergenza del filtro risulta chiara facendo un grafico del valore di P (la varianza dell’errore di filtraggio decresce rapidamente fino a portarsi a valori decisamente molto piccoli, dell’ordine del 1.3x10^-4 dopo un centinaio di iterazioni).

FIGURA 2: Varianza dell'errore nelle due simulazioni, cliccare sui grafici per ingrandire