Rototraslation

3 Rototraslazioni con coordinate omogenee

Le rototraslazioni nello spazio tridimensionale non sono nient’altro che lo spostamento di un corpo rigido che prima ruota e poi trasla mantenendo invariato forma e lunghezze.

3.1 Traslazione

Sia dato un punto e la sua traslazione in coordiante omogenee:

E’ facile escprimere la traslazione come segue:

Dove si definisce la matrice di traslazione:

Si noti che le prime tre colonne della matrice di traslazione sono i versori degli assi cartesiani che non vengono variati, mentre l’ultima colonna rappresenta l’origine traslata.

Si osserva anche che i punti impropri, che sappiamo definiscono la direzione, non variano. Dunque, come ci si aspetta, la traslazione non varia la direzione :

3.2 Rotazione attorno ad un asse

Dato un punto P sia P’ la rotazione di tale punto attorno all’asse Z:

Si veda la relativa alla figura che segue (si pensi l’asse Z ortogonale al piano disegnato, che passa per l’origine ed entra nel foglio/monitor in direzione opposta all’osservatore):

Usando un pò di trigonometria spiccia possiamo scrivere:

Applicando le formule trigonometriche di somma di seni e coseni possiamo esprimere P’ come:

Possiamo quindi esprimere la rotazione nelle coordinate omogenee come segue:

Si definisce così la matrice di rotazione attorno all’asse Z ed analogamente le matrici di rotazione attorno agli altri due assi:

Si osserva che le prime tre colonne delle matrici rappresentano la rotazione dei versori degli assi nel sistema di riferimento iniziale mentre l’ultima colonna sta ad indicare che l’origine rimane invariata.

3.3 Rototraslazione

Come già anticipato le rototraslazioni rappresentano lo spostamento rigido di un corpo e permettono di effettuare simultaneamente una rotazione ed una traslazione.

La matrice di rototraslazione può essere espressa nella seguente forma:

dove, per quanto già visto, le prime tre colonne rappresentano i versori nel sistema di riferimento rototraslato, mentre l’ultima colonna rappresenta l’origine del sistema di riferimento rototraslato.

Proprierà fondamentale della rototraslazione è che deve mantenere inalterate forma e lunghezze.

3.3.1 Conservazione della forma

Per imporre la conservazione della forma si deve imporre che i versori del sistema di riferimento rototraslato rimangano ortogonali fra loro:

Ovvero:

3.3.2 Conservazione delle lunghezze

Per imporre la conservazione delle lunghezze basta imporre che la lunghezza dei versori rototraslati rimanga unitaria, ovvero:

Ovvero:

3.3.3 Rototraslazione inversa

Si impone che la rototraslazione inversa debba riportare il sistema di riferimento rototraslato alla condizione iniziale, ovvero:

Per la [CM8] e [CM9] è facile ricavare che la matrice di rototraslazione inversa è:

A questo punto viene comodo riscrivere la matrice H come segue:

Dove R è detta sottomatrice di rotazione e T è il vettore di traslazione.

La sottomatrice R risulta dunque essere:

E la sua inversa:

ed ha le seguenti due proprietà fondamentali :

Per quanto riguarda la [CM11] da quanto visto sopra il determinante potrebbe anche valere -1, in quel caso avremmo una riflessione.

3.3.4 Rototraslazione non Traslarotazione

Si vuole mettere l’accento in questo sottoparagrafo sul fatto che la rototraslazione può essere vista come una rotazione attorno all’origine del sistema di riferimento iniziale successivamente traslato. Infatti:

Non è assolutamente vero il viceversa ed è facilmente dimostrabile scambiando l’ordine di moltiplicazione delle due matrici dell’equazione di cui sopra.

3.3.5 Gradi di libertà

Per quanto visto possiamo affermare che una generica matrice di rototraslazione ha 6 gradi di libertà, tre dovuti ai tre valori indipendenti del vettore di traslazione e 3 dovuti alla sottomatrice di rotazione, quest'ultima consta di 9 valori ma ha 6 vincoli fissi dati dalle [CM8] e [CM9].