Born in the same date

Ricordo bene quando mi venne accennato questo indovinello, ero in un aula universitaria ed un professore prima di darci il test ci disse qualcosa del tipo : "Se ci pensate la probabilità che due di voi siano nati lo stesso giorno è elevatissima". Per la cronaca eravamo in uno stanzone all'incirca una cinquantina di studenti di ingegneria e la frase non aveva nulla a che fare con il test che ci accingevamo ad affrontare, ed è forse per questo che mi restò in mente.

Ovviamente la sfida era lanciata, detta così però non era del tutto sensata. Riformuliamola in modo che abbia un senso maggiormente compiuto.

Si scelgano n persone a caso fra la popolazione. Qual'è il valore di n tale per cui è più probabile che ce ne siano due nate lo stesso giorno piuttosto che siano tutte nate in giorni diversi?

L'obbiettivo è trovare un numero intero tale per cui la probabilità che ci siano due persone nate lo stesso giorno sia maggiore del 50%.

Ci semplifichiamo la vita e non prendiamo in considerazione gli anni bisestili.

Questo è uno dei problemi che dà un risultato a mio avviso inatteso. Se si dovesse rispondere di getto si potrebbe pensare, con 366 persone ho la certezza di averne due nati lo stesso giorno, ne prendo 183 e siamo al 50%? Giusto? No, Sbagliato!

La risoluzione a dire il vero non comporta particolari ostacoli, infatti si prendano due persone, la probabilità che la seconda non sia nata lo stesso giorno della prima è 364/365, ne prendiamo un'altra, la probabilità che non sia nata lo stesso giorno dei due tizi precedenti è 363/365, ne prendiamo una quarta, la probabilità che non sia nata lo stesso giorno dei 3 esseri umani scelti in precedenza è 362/365 e avanti così.

Prese n persone si avrà che la probabilità che sia nata (quindi l'evento complementare) è:

Imponiamo dunque:

Risolvere in via analitica la disequazione non è proprio banalissimo, quindi direi di fare come fa sempre il programmatore di turno (che poi sarei io), ovvero facciamo un bel programmino in C++ che calcola quanto ci serve e ci dà il risultato sfuttando la forza bruta del silicio.

Ecco l'ouput del software che consta veramente di poche righe.

Number of people 2 -> p = 0.27 %

Number of people 3 -> p = 0.82 %

Number of people 4 -> p = 1.64 %

Number of people 5 -> p = 2.71 %

Number of people 6 -> p = 4.05 %

Number of people 7 -> p = 5.62 %

Number of people 8 -> p = 7.43 %

Number of people 9 -> p = 9.46 %

Number of people 10 -> p = 11.69 %

Number of people 11 -> p = 14.11 %

Number of people 12 -> p = 16.70 %

Number of people 13 -> p = 19.44 %

Number of people 14 -> p = 22.31 %

Number of people 15 -> p = 25.29 %

Number of people 16 -> p = 28.36 %

Number of people 17 -> p = 31.50 %

Number of people 18 -> p = 34.69 %

Number of people 19 -> p = 37.91 %

Number of people 20 -> p = 41.14 %

Number of people 21 -> p = 44.37 %

Number of people 22 -> p = 47.57 %

Number of people 23 -> p = 50.73 %

Number of people 24 -> p = 53.83 %

Number of people 25 -> p = 56.87 %

Number of people 26 -> p = 59.82 %

Number of people 27 -> p = 62.69 %

Number of people 28 -> p = 65.45 %

Number of people 29 -> p = 68.10 %

Number of people 30 -> p = 70.63 %

Number of people 31 -> p = 73.05 %

Number of people 32 -> p = 75.33 %

Number of people 33 -> p = 77.50 %

Number of people 34 -> p = 79.53 %

Number of people 35 -> p = 81.44 %

Number of people 36 -> p = 83.22 %

Number of people 37 -> p = 84.87 %

Number of people 38 -> p = 86.41 %

Number of people 39 -> p = 87.82 %

Number of people 40 -> p = 89.12 %

Number of people 41 -> p = 90.32 %

Number of people 42 -> p = 91.40 %

Number of people 43 -> p = 92.39 %

Number of people 44 -> p = 93.29 %

Number of people 45 -> p = 94.10 %

Number of people 46 -> p = 94.83 %

Number of people 47 -> p = 95.48 %

Number of people 48 -> p = 96.06 %

Number of people 49 -> p = 96.58 %

Number of people 50 -> p = 97.04 %

Beh, cosa notate?

Già con soli 23 individui è più probabile che due siano nati lo stesso giorno piuttosto che le 23 persone siano nate in giorni diversi e con 50 la probabilità è superiore al 97% (aveva decisamente ragione da vendere il professore).