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Facciamo il cammino inverso di quel che si fa di solito in ambito scolastico, partiamo dal problema e troviamo quel che serve. Che problema dobbiamo risolvere?
Poco fa abbiamo visto la matrice inversa. Molto bella la matrice inversa, come avrete intuito è utile per risolvere delle equazioni matriciali. C’è una bella limitazione però, le matrici quadrate invertibili quando ti metti a scrivere un’equazione non ti capitano mai e poi mai, quindi? Come facciamo a generalizzare in qualche modo il concetto di inversa?
Partiamo dunque dalla tipica equazione matriciale da risolvere:
A sia una matrice non quadrata e dunque non invertibile di dimensione [mxn] mentre x e b siano due vettori di dimensione [nx1].
Cerchiamo una soluzione approssimata per il vettore x, il che si riduce ad un problema di minimi quadrati, si deve minimizzare quanto segue:
Sviluppiamo i quadrati:
Si osservi che:
Quindi:
Si derivi rispetto ad x e si imponga che la derivata sia nulla per ogni termine della sommatoria:
Si ha quindi che:
Eccoci dunque la definizione di pseudoinversa di una matrice:
Prima ovvia domanda, quando esiste la pseudo inversa? Si può dimostrare che la pseudo inversa esiste per ogni matrice (meraviglioso).
La formula di cui sopra vale a patto che la matrice A sia di rango pieno con numero di colonne minore o uguale al numero di righe, ovvero le colonne di A sono linearmente indipendenti.
Analogamente si dimostra che se A è di rango pieno con numero di righe inferiore al numero di colonne (le righe di A sono linearmente indipendenti) la pseudo inversa risulta:
La matrice pseudo inversa ha una lunga serie di interessanti proprietà:
- Nel caso di matrici invertibili la pseudo coincide con l’inversa.
- Nel caso di matrice [nxm] a rango pieno con m<n (colonne linearmente indipendenti) la pseudoinversa è un'inversa sinistra, ovvero vale:
- Nel caso di matrice [nxm] a rango pieno con n<m (righe linearmente indipendenti) la pseudoinversa è un'inversa destra, ovvero vale:
Riporto un’ultima proprietà molto interessante data la scomposizione della matrice di partenza A mediante la SVD (Singular Value Decomposition, decomposizione ai valori singolari):
la sua pseudoinversa può essere scritta come:
Ultima domanda, e se la matrice non è di rango massimo?
Qui casca un po' il palco o meglio si perde un po' di immediatezza nel calcolo della matrice pseudinversa in quanto bisogna passare per la SVD.
Esempio di uso (codice C++)
Esempio di uso (codice C++)
Riporto un brevissimo esempio di utilizzo della classe da me creata per il calcolo dela pseudoinversa.
//Declare matrix
Matrix A("[ 2, 0, 0 ; 0, 3, 0 ; 0, 0, 5 ; 0, 0, 1]");
//Print matrix
std::cout << "A:\n";
print(A);
std::cout << "\n";
//Pseudo-Inverse matrix
Matrix B = A.pInv();
//Print Pseudo-Inverse matrix
std::cout << "pInv(A):\n";
print(B,5);
std::cout << "\n";
//Check
if (A.getNumColumns()>=A.getNumRows())
{
//Check A*B
Matrix AB;
AB = A * B;
std::cout << "A * pInv(A):\n";
print(AB);
std::cout << "\n";
}
else
{
//Check B*A
Matrix BA;
BA = B * A;
std::cout << "pInv(A) * A:\n";
print(BA);
std::cout << "\n";
}
L'ouput sarà il seguente:
A:
2.000 0.000 0.000
0.000 3.000 0.000
0.000 0.000 5.000
0.000 0.000 1.000
pInv(A):
0.50000 0.00000 0.00000 0.00000
0.00000 0.33333 0.00000 0.00000
0.00000 0.00000 0.19231 0.03846
pInv(A) * A:
1.000 0.000 0.000
0.000 1.000 0.000
0.000 0.000 1.000
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