Pi_Polygons

Poligoni inscritti e circoscritti alla circonferenza di raggio unitario

Ricordo che questo metodo di stima di Π, o quantomeno l'idea di fondo, mi è stato spiegata nei primi anni delle superiori. Il procedimento è decisamente semplice: preso un cerchio uso come stima della circonferenza per eccesso il perimetro del poligono regolare circoscritto e come stima per difetto il perimetro dello stesso poligono regolare inscritto.

Ricordo che un poligono regolare è sempre inscrivibile e circoscrivibile ad una circonferenza.

Detta così è semplice, ed in effetti spero che il tutto si risolva in pochi passaggi.

Partiamo dal quadrato e vediamo se riusciamo a venirne a capo (ha numero di lati pari ad una potenza di 2 e questa cosa da bravo informatico mi ha sempre dato fiducia).

Prima di tutto un bel disegno.

Per semplificarci la vita nel seguito, senza perdita di generalità alcuna, consideriamo una circonferenza di raggio unitario.

1.1 Il poligono inscritto

Cominciamo con il poligono inscritto.

Il trucco sta nel considerare dato il lato di un generico poligono regolare di N lati e calcolare il lato del poligono con il numero di lati doppio (2N). Il procedimento per costruire il poligono con 2N lati dato il poligono con N lati è semplice, basta trovare la bisettrice di ogni lato ed intersecarla con la circonferenza.

Dalla figura di cui sopra, siano:

• r il raggio del cerchio;
• AB un lato del poligono regolare con N;
• AC un lato del poligono regolare con 2N lati.

Si denotano come segue le lunghezze dei lati in esame:

l trinagolo ACD è rettangolo (l'angolo in A insiste su di una semicirconferenza e per un noto teorema è dunque retto).

Per il secondo teorema di Euclide si ha che:

Con pochi passaggi possiamo calcolare la lunghezza di CK:

Osservando CK deve necessariamente essere inferiore al raggio, ricaviamo che:

Ora per Pitagora considerando il triangolo ACK (chiaramente rettangolo per costruzione):

Ricordando che:

Si ricava che possiamo calcolare ricorsivamente il lato del poligono regolare inscritto nella circonferenza unitaria con 2N lati come:

1.2 Il poligono circoscritto

Passiamo ora al perimetro che ci darà un'approsimazione per eccesso.

Con quanto visto sopra siamo già a buon punto.

I poligoni inscritti e circoscritti con stesso numero di lati sono simili.

Definiamo come segue il lato del poligono circoscritto e le due apotema:

Con una semplice similitudine:

Notando che l'apotema del poligono circoscritto è la circonferenza di raggio unitario, si ricava che:

L'apotema cercato è banalmente:

Ricordando la [PI1] si ricava in pochi semplici passaggi che:

1.3 Approssimazione

A questo punto l'approssimazione può essere facilmente computata!

Calcoliamo i valori iniziali dei lati dei quadrati (a dire il vero basta il lato del quadrato inscritto ma visto che il lato di quello circoscritto è semplicissimo forniamo anche quello):

Osservando che valgono le seguenti banali disequazioni:

Procedo nella stima (ricorsiva) agendo salomonicamente, ovvero prenderò come valore approssimato di Π la media seguente:

1.4 Implementazione

A differenza degli antichi (che a calcolarsi le radici quadrate a manina han fatto i calli sulle dita) abbiamo potentissimi calcolatori a disposizione, dunque è d'obbligo fare un facile programmino e vederne il notevole risultato!

Si ptorebbe usare il fantastico Octave il tutto si risolverebbe in poche righe di codice, il tutto però è talmente semplice che ho deciso di usare un banale foglio di calcolo, i risultati sono riportati nella tabella che segue.

L'ultima colonna della tabella è la differenza dalla miglior stima di PI che abbiamo, ovvero la costante fornitaci dal foglio di calcolo stesso.

Si noti come dopo 10 iterazioni il valore di pi-greco calcolato sia già un'approssimazione molto buona (6 cifre "azzeccate" dopo la virgola).