Kalman theory

Si riporta di seguito un riassunto della formulazione del filtro di Kalman e della nomenclatura associata.

Formule:

Si consideri un sistema a tempo discreto:

Le equazioni sono rispettivamente dette:

• Equazione di stato;
• Equazione di misura;
• Equazione iniziale (di stato).

E le variabili vettoriali sono così definite:

• x(t) è lo stato del sistema;
• y(t) è il vettore delle misure (dette anche osservazioni);
• u(t) è l'ingresso (detto anche termine forzante);
• w(t) è il rumore di processo;
• v(t) è il rumore di misura.

I vettori sono definiti in questi spazi:

La matrice A è detta matrice di transizione di stato (lega lo stato al passo k con il precedente in assenza di influenze esterne).

Le matrici sono definite con queste dimensioni:

I due rumori si ipotizzano bianchi (distribuzione gaussiana a media nulla) con matrice di covarianza:

Le matrici relative alle covarianze risultano essere:

Nel seguito si considereranno i due rumori incorrelati, dunque si avrà :

Le notazioni seguenti:

rappresentano rispettivamente:

• stimatore dello stato all'istante t note le misure fino all'istante s;
• varianza dell'errore di predizione;
• varianza dell'errore di filtraggio;

Si dimostra che gli stimatori lineari a minima varianza sono calcolabili mediante il seguente algoritmo ricorsivo:

Stima a priori (predizione, aggiornamento temporale) :

Dove:

Nel caso di rumori incorrelati:

Stima a posteriori (aggiornamento rispetto alle misure) :

Si definiscono l'innovazione:

la matrice di varianza del processo di innovazione :

ed il guadagno del filtro:

Condizioni iniziali :

Schema dell'algoritmo :