Kalman Filter, Example 3 (Parabolic motion)

DEFINIZIONE

Si voglia studiare la traiettoria su di un piano di un oggetto lanciato imprimendogli una certa forza iniziale. Pensiamo ad una pallina lanciata per aria. Mediante un sistema di visione abbiamo a disposizione le coordinate della palla sul piano ove effettua il moto.

MODELLO

Passiamo alla descrizione fisica del sistema.

NOTA: Vista la piccola massa e velocità dell’oggetto contenuta si può considerare trascurabile l’azione della resistenza dell’aria (è proporzionale alla superficie che impatta l’aria ed al quadrato della velocità). Questa imprecisione del modello nel mondo reale sarà poi compensata dal filtro, ovvero l’azione dell’aria sarà valutata come rumore, ovviamente questa semplificazione è accettabile fintantochè la componente di forza che si oppone al moto può considerarsi trascurabile.

Il moto sarà dato dall’equazione:

Dividendo il moto lungo i due assi cartesiani e riportando anche le velocità si ha:

Discretizzando ricaviamo:

Facendo un pò di ordine si ricava la forma dell’equazione di stato utile per la definizione delle matrici del filtro di Kalman:

L’equazione di misura invece sarà semplicemente:

SIMULAZIONE

Utilizzando le solite formule (i valori delle matrici si ricavano facilmente dalle equazioni di cui sopra) possiamo simulare svariati esperimenti.

La scelta delle condizioni iniziali al solito non comporta particolari problemi.

NOTA: In allegato a questa pagina al solito si trova il file, in tal modo sarà possibile per l’utente volenteroso di sperimentare, effettuare ulteriori prove variando varianze, condizioni iniziali, tempo di campionamento ed altro.

Vediamo un paio di esempi che ci permetteranno di fare alcune semplici valutazioni.

FIGURA 1,2,3: Esempio 1. Posizione, velocità e valore della varianza d'errore (per lo spostamento lungo X). Cliccare su di una figura per ingrandirla.

Nella prima figura al solito si nota quanto l'andamento del filtro (in blu) sia decisamente migliorativo rispetto all'andamento delle misure (in verde) confrontandolo con l'andamento ideale (in rosso). Altra nota è come quando l'oggetto colpisce il suolo (a desta) il modello non sia più accurato e quindi il filtro si discosti dall'andamento reale del moto.

Nella seconda figura si può notare come anche le velocità (non misurate, solo stimate) dopo un transitorio iniziale, siano aderenti a quelle reali.

Nella terza figura al solito si può vedere come il valore della varianza (si è scelta quella dello spostamento in x) scenda velocemente a valori molto limitati.

Di seguito riportiamo altri due esempi (cambiate varianze d'errore, l'angolo di alzo, posizioni iniziali ).

FIGURA 4,5: Simulazioni (in rosso moto ideale, in verde le misure, in blu la posizone calcolata dal filtro). Cliccare sulle immagini per ingrandirle.