Теорема Больцано-Вейерштрасса

Теорема звучит так: "Всякое ограниченное бесконечное множество имеет по крайней мере одну предельную точку".

Обозначим множество, данное в условиях теоремы, через E. Поскольку множество E - ограничено, его можно заключить в какой-то сегмент [a₁, b₁]. Разделим сегмент пополам. В какой-то из половин содержится бесконечное множество точек из E. Если бы это было не так (в обоих половинах сегмента содержалось бы конечное число точек из E), то и во всем сегменте [a₁, b₁] содержалось бы конечное число точек из E. То есть E было бы конечным, ведь сегмент [a₁, b₁] содержит все множество E целиком. Возьмем половину с бесконечным числом точек из E. Если в обоих половинах содержится бесконечное число точек из E, возьмем любую из них и обозначим через [a₂, b₂]. С сегментом [a₂, b₂] проделаем то же самое. Будет повторять этот процесс бесконечно. Получим стягивающуюся последовательность сегментов, в каждом из которых - бесконечное число точек из E. По теореме об общей точке последовательности стягивающихся сегментов (Стягивающаяся последовательность сегментов) у них есть общая точка ξ. Возьмем интервал (α, β), содержащий ξ. Этот интервал - окрестность точки ξ. При достаточно большом n сегмент [a_n, b_n], содержащий бесконечное (как я только что выше указал) число точек из E, будет содержаться в интервале (α, β). Значит, любая окрестность точки ξ содержит бесконечное число точек из E. То есть точка ξ - предельная точка множества E.