Предел функции

Окрестностью точки a называется любой открытый промежуток (a - σ, a + σ) с центром в точке a.

Функция y = f(x) стремится к пределу b, если x стремится к a тогда, когда можно для любого сколь угодно малого положительного числа ε указать такое положительное число σ, что для любого x, отличного от a и удовлетворяющего неравенству |x - a| < σ, справедливо неравенство |f(x) - b| < ε. Предел функции обозначают так: lim f(x) = b при x→a.

Если функция стремится к пределу b1 при том, что x, стремясь к a, принимает только значения меньше a, то говорят, что b1 предел функции в точке a слева, что обозначается как lim f(x) = b1 при x→a - 0.

Если функция стремится к пределу b2 при том, что x, стремясь к a, принимает только значения больше a, то говорят, что b2 предел функции в точке a справа, что обозначается как lim f(x) = b2 при x→a + 0.

Для существования предела в точке a, необязательно, чтобы функция была определена в точке a. Главное, чтобы она была определена в какой-либо окрестности точки a.

Пример. lim (x2 - 9) / (x - 3) = 6 при x→3. Функция (x2 - 9) / (x - 3) не определена в точке 3. Выражение x2 - 9 можно представить как (x - 3)(x + 3). Предел lim (x2 - 9) / (x - 3) = lim (x - 3)(x + 3) / (x - 3) = lim (x + 3) при

x→3.

Функция может стремиться к конечному пределу b при x→+∞, если для произвольного ε > 0 найдется

Δ > 0 такое, что |f(x) - b| < ε при x > Δ.

Функция может стремиться к конечному пределу b при x→-∞, если для произвольного ε > 0 найдется Δ > 0 такое, что |f(x) - b| < ε при x < -Δ.Например, 1 + 1 / x стремится к 1 при x→+∞ и стремится к 1 при x→-∞.

Функция может иметь и бесконечный предел +∞ при x→a, если для произвольного E > 0 найдется такое число δ > 0, что f(x) > E при |x - a| < δ.

Функция может иметь и бесконечный предел -∞ при x→a, если для произвольного E > 0 найдется такое число δ > 0, что f(x) < -E при |x - a| < δ.

Также функция может стремиться к бесконечному пределу при стремлении аргумента к бесконечности.

Также функция может не стремиться вообще ни к какому пределу при стремлении аргумента к бесконечности (например, sin(x)) или к какой-то точке(например, sin (1/x) не имеет предела в x = 0).

Ограниченность

Функция может быть ограничена в каком-то промежутке или в окрестности точке. Это значит, что можно найти такое число E, что |f(x)| <= M для x из данного промежутка или окрестности. Тот же самый sin(x) не превышает 1 для любого аргумента.