Выпуклость и скорость изменения функции

Что вообще дает нам график функции? Да то, что по нему видно как с изменением аргумента изменяется значение функции. Например, с увеличением значений аргумента, значения функции могут становиться меньше, оставаться одинаковыми или расти.

Это все? Нет. На графике видна скорость роста или скорость изменения функции с ростом значений аргумента. А скорость изменения функции в точке - это ее производная первого порядка в этой точке. Рассмотрим функцию y = x³ (график красного цвета). От -∞ до 0 график функции растет и выпуклый. Причем при приближении к нулю рост замедляется, т.е. падает скорость роста. Скорость роста - это производная 3x2. Но если скорость роста падает, то как определить скорость ее падения - как быстро падает скорость роста? Второй производной (производной второго порядка) 6x. Вторая производная показывает, с какой скоростью изменяется скорость изменения функции. Скорость изменения скорости изменения? Запутано? Смотрите:

1) Функция изменяется с изменением аргумента, т.е. либо растет, либо остается постоянной, либо убывает.

2) Производная первого порядка показывает скорость такого изменения. Если производная первого порядка не зависит от аргумента, то функция изменяется равномерно c постоянной скоростью - это случай прямых y = kx + b.

3) Но если сама скорость изменения функции (производная) меняется (зависит от аргумента)О чем говорит растет все сильнее, если двигаться по оси Ox от нуля вправо. То есть, если сделать шаг вправо по оси Ox, то функция будет делать все большие и большие шаги вверх вдоль оси Oy.