Логика. Предикаты

Предикаты - это более глубокая абстракция, чем высказывания. Поэтому, если вы не прочитали статью про высказывания, пора сделать это, иначе дальше будет непонятно.

Высказывания рассматриваются вообще говоря для какой-то одной фиксированной ситуации. Например, "прямая y=2x+5 проходит через точку M (2; 9)". Здесь, есть описание вполне определенной через уравнение прямой и вполне определенной через координаты точки M. При этом возможное значение высказывания - только "истина", что можно проверить, подставив координаты точки M в уравнение прямой. Высказывание "прямая y=2x+5 проходит через точку P (2; 8)" ложно. Если начать рассматривать случаи с другими прямыми и другими точками, то логическое значение высказывания будет разным в зависимости от комбинации прямой и точки. То есть, получается некоторое множество комбинаций прямых и точек, на котором высказывание "прямая такая-то проходит через точку такую-то" будет принимать значения "ложь" или "истина". Вот когда высказывание рассматривается для некоторого множества ситуаций, его называют предикатом.

Итак, что такое предикат?

1) Во-первых, это функция, принимающая значения либо "истина", либо "ложь".

2) Во-вторых, аргументами предиката являются элементы множеств.

3) В-третьих, при замене переменных в формуле предиката элементами множеств, получится

высказывание. А известно, что высказывание может быть ложно или истинно.

Примеры.

1) "Прямая y=kx + b проходит через точку M (2; 9)" - предикат на множестве прямых (можно взять разные k и b). Это одноместный предикат. Имеем только множество прямых.

2) "Прямая y=kx + b проходит через точку M (x₀; y₀)" - предикат на множестве прямых (можно взять разные k и b) и множестве точек (можно взять разные x₀ и y₀). Это двуместный предикат. Имеем множество прямых и множество точек.

В книге Гиндикина "Алгебра логики в задачах") дано хорошее определение предиката. Правда, сказать я не понял, что за символы использовались. Это не важно, я заменил непонятный символ на M. И пару слов.

Определение предиката. Пусть M = {M₁, ..., M_n} - конечный набор множеств. Всякое соответствие A (x₁, ..., x_n), относящее каждому набору из n элементов (a₁, ..., a_n), где a₁ ∈ M₁, a₂ ∈ M₂, ..., a_n ∈ M_n, какой-либо из элементов булевой алгебры {"истина", "ложь"}, называется n-местным предикатом на M. Множество M_i называется предметной областью (или множеством ситуаций) для переменной x_i. Переменные x₁, ..., x_n называются предметными переменными. Некоторые или все из множеств M_i могут совпадать.

Еще примеры.

1) "Машина везет груз" - двуместный предикат: одна предметная область - машины, другая - грузы.

2) "Точки A, B, C - вершины треугольника X" - четырехместный предикат, у которого предметными областями трех переменных A, B, C являются множества точек, а предметной областью X - множество треугольников.

Если начать фиксировать переменные определенными значениями, то будем получать предикаты меньшей местности. Например, если зафиксировать точку A, получим трехместный предикат.