БПППИ. Важное о нормали к поверхности?

Почему вектор, координаты которого являются производными неявной функции, описывающей поверхность, по координатам x,y,z, направлен по нормали к поверхности. Учитывая выкладки в БПППИ. Плоскость и величины обратные проекциям векторов, можно легко это понять. Рассмотрим функцию F(x, y, z) от трех переменных. Можно выделить поверхности, в которых функция принимает одно и тоже значение. Рассмотрим поверхности F(x, y, z) = C1 и F(x, y, z) = C2 близкие к друг другу, т.е. C1 не сильно будет отличаться от C2. На поверхности F(x, y, z) = C2 возьмем точку O. От точки O до поверхности F(x, y, z) = C1 проведем три вектора, параллельных осям координат Ox, Oy, Oz соответственно. Концы векторов будут касаться поверхности F(x, y, z) = C1 в точках A, B, C, т.е. это векторы будут называться OA, OB, OC.

Заметим, что длины этих векторов - суть приращения координат при перемещении от точки O к точке A, точке B, точке C соответственно:

Δx = sign|OA|, Δy = sign|OB|, Δz = sign|OC|, где sign = +1 или sign = -1. Также нужно отметить, что в точке O, поскольку она лежит на поверхности F(x, y, z) = C2, функция равна C2. А в точках A, B, C функция равна C1. Поэтому приращение функции при переходе от точки O к точке A равно приращению функции при переходе от точки O к точке B равно приращению функции при переходе от точки O к точке С и равно C2 - C1:

ΔF_OA =ΔF_OB=ΔF_OC=C2 - C1=ΔF.

Заметим кстати, что Δx, Δy, Δz в общем случае не равны друг другу. Вектор n1=(ΔF/Δx, ΔF/Δy, ΔF/Δz) перпендикулярен плоскости ABC - это рассмотрено в БПППИ. Плоскость и величины обратные проекциям векторов. Если рассматривать все более близко лежащие к друг другу поверхности, то вектор n1=(ΔF/Δx, ΔF/Δy, ΔF/Δz) будет стремиться к n2=(dF/dx, dF/dy, dF/dz), а плоскость ABC все более будет ближе к поверхности F(x, y, z) = C1. Так как вектор n2 - суть предел вектора n1, а треугольник ABC в пределе совпадет с бесконечно малым элементом поверхности F(x, y, z) = C1 и все это время вектор n1 будет перпендикулярен плоскости треугольника ABC, то вектор n2 перпендикулярен (нормален) к поверхности.

Вообще говоря, куда же еще быть направленному вектору производной неявной функции, ведь изменение функции происходит от слоя к слою, что чисто визуально представляется движением по нормали. Нормаль - единственное уникальное направление, равно отстоящее от окрестных участков. Производная как раз и характеризует изменение функции, а точнее скорость ее изменения.