БПППИ. Плоскость и величины обратные проекциям векторов

Как-то я сидел и пытался понять, почему вектор, координаты которого являются производными неявной функции, описывающей некоторую поверхность, перпендикулярен (нормален) к этой поверхности.

Размышления привели меня к следующему важному свойству плоскости, построенной на концах проекций какого-нибудь вектора. Рассмотрим три ортогональных вектора OA, лежащий на оси Ox, OB, лежащий на оси Oy, OC, лежащий на оси Oz. По трем точкам A, B, C построим плоскость ABC. Вектор n = (1/OA, 1/OB, 1/OC) должен быть перпендикулярен плоскости ABC.

Здесь я добавил множитель k, потому что обратные проекции получились бы слишком мелкими, но сути это не меняет, так как направление вектора остается тем же.

Доказательство:

Векторное произведение векторов CA и CB -это вектор, перпендикулярноый плоскости ABC. Следовательно, нужно просто доказать коллинеарность векторов CAxCB и n, а точнее пропорциональность координат. У коллинеарных векторов отношения одноименных координат равны.

Как видно, координаты векторов CAxCB и n пропорциональны. Значит, вектор n перпендикулярен плоскости ABC. Заметим, что любой вектор с координатами k/OA, k/OB, k/OC также будет перпендикулярен плоскости ABC.