Группы

Что такое группа?

1) Это непустое множество элементов произвольной природы при условии, что:

2) на этом множестве определена алгебраическая операция и

3) эта алгебраическая операция удовлетворяет трем аксиомам:

- эта операция ассоциативна;

- в этом множестве существует нейтральный относительно этой операции элемент;

- для каждого элемента этого множества существует симметричный элемент

При оперировании понятием группы всегда имеют ввиду какую-нибудь алгебраическую операцию, относительно которой множество и является группой. То есть рассматривается множество с операцией, а не просто множество. Причем на этом множестве могут быть определены и другие операции, относительно каждой из которых множество может являться, а может и не являться группой.

Операция, относительно которой множество G является группой, называется групповой операцией. Если групповая операция является сложением, то группу называют мультипликативной. В случае, если операция - умножение, группа называется аддитивной ("add" с англ. "добавлять", "прибавлять"). Если групповая операция коммутативна, то и группу называют коммутативной или абелевой.

Примеры. Множество отличных от нуля действительных чисел - мультипликативная группа. Множество всех действительных чисел - аддитивная группа.