Ряды. Определение. Виды

Рассмотрим бесконечную последовательность чисел с определенным законом, по которому можно вычислить любой ее член по n:

a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ...

Выражение a₁ + a₂ + a₃ + ...+ a_n + ... называют числовым рядом, а сами члены последовательности - членами ряда. Обозначим сумму первых n членов ряда через s_n. Если s_n стремится к какому-то определенному конечному пределу при n→∞, то говорят, что ряд сходится. Если такого предела нет (например, сумма стремится к бесконечности), то ряд расходится. Это просто принятая терминология.

Сходящийся ряд, где b - конечный предел:

Расходящийся ряд (нет предела или он равен бесконечности):

Арифметическая прогрессия - последовательность a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ..., где a_n = a_n-1 + d.

Формула для вычисления любого члена a_n = a₁ + d(n - 1).

Формула суммы n первых членов s_n = (2a₁ + d(n - 1)) n / 2 или s_n = (a₁ + a_n) n / 2.

Геометрическая прогрессия - последовательность a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ..., где a_n = a_n-1d.

Формула для вычисления любого члена a_n = a₁d^{n - 1}.

Формула суммы n первых членов s_n = a₁(1 - dⁿ) / (1 - d) или s_n = (a₁ - a_nd) / (1 - d).

1) На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа k его членов. s_n = s_{n - k} + s_k. Видно, что если существует предел lim s_n при n→∞, то существует предел lim s_n-k при n→∞, так как s_k - конечное число.

Здесь s_k - сумма отброшенных членов, s_{n - k} - сумма n первых членов за исключением отброшенных.

2) Пусть сумма ряда a₁ + a₂ + ... равна s. Обозначим сумму ряда ca₁ + ca₂ + ... через q, где c - фиксированное число. Частичная сумма q_n = ca₁ + ... + ca_n = c(a₁ + ... + a_n) = cs_n. Сумма ряда

То есть, если каждый член ряда a₁ + a₂ + ... умножить на одно и тоже постоянное число c, то сумма q получившегося ряда ca₁ + ca₂ + ... будет равна сумме s ряда a₁ + a₂ + ..., умноженной на это число c, то есть q = cs.

Итак,

s - сумма ряда a₁ + a₂ + ...

при умножении каждого члена ряда a₁ + a₂ + ... на число c получаем ряд ca₁ + ca₂ + ...

q - сумма ряда ca₁ + ca₂ + ...

q = cs.

Оно и понятно. Неважно, сколько мы берем членов последовательности при вычислении их суммы, можно всегда вынести c за скобки.

3) Рассмотрим ряды a₁ + a₂ + ... и b₁ + b₂ + .... Пусть

s_a - сумма ряда a₁ + a₂ + ..., а s_b - сумма ряда b₁ + b₂ + ....

Составим ряд (a₁ + b₁) + (a₂ + b₂) + .... Обозначим его частичную сумму через q_n.

q_n = (a₁ + b₁) + ... + (a_n + b_n) = (a₁ + ... + a_n) + (b₁ + ... + b_n) = s_an + s_bn.

Понятно, что как бы длинен не был частичный ряд, каждый член которого равен сумме соответствующих членов ряда a₁ + a₂ + ... и ряда b₁ + b₂ + ..., то даже при его бесконечности можно переставить слагаемые, что в итоге даст сумму сумм двух рядов. То есть сумма q ряда (a₁ + b₁) + (a₂ + b₂) + ... равна сумме суммы s_a ряда a₁ + a₂ + ... и суммы s_b ряда b₁ + b₂ + ....