Нахождение пределов. Теоремы

Лемма 1. Пусть последовательности {x_n} и {y_n} таковы, что 0 <= y_n <= x_n, начиная с некоторого n = n₀. Тогда если x_n→0 при n→∞, то и y_n→0 при n→∞.

Так как 0 <= y_n <= x_n, начиная с некоторого n = n₀, то верно 0 <= |y_n| <= |x_n|. Видно, что x_n бесконечно малая, так как раз она стремится к нулю при возрастании n, то для любого сколь угодно малого положительного ε найдется n >= Nε такой, что |x_n| < ε. Тогда |y_n| и подавно будет меньше ε. Таким образом и y_n - бесконечно малая, то есть y_n→0 при n→∞.

Пусть последовательности {x_n}, {y_n}, {z_n} таковы, что при любом n соблюдается условие:

x_n <= y_n <= z_n. Пусть также lim x_n = lim z_n = a. Тогда lim y_n = a.

Зададимся произвольным ε > 0. При каком-то n > N₁ будет справедливо неравенство:

a - ε < x_n < a + ε.При каком-то n > N₂ будет справедливо неравенство: a - ε < z_n < a + ε.

При n > N₁ и n > N₂ (то есть обоих сразу) будут выполняться оба неравенства, поэтому, можно записать:

a - ε < x_n <= y_n <= z_n < a + ε. Для y_n теперь справедливо a - ε < y_n < a + ε или |y_n - a| < ε. Таким образом, действительно a является пределом y_n.

Теперь, пользуясь этими знаниями и Метод математической индукции. Неравенство Бернулли. докажем

Пример 9 из сборника задач по математическому анализу Кудрявцева (Т.1, 2003 год, параграф 8, стр. 131):

Пусть x > 1. Доказать, что lim x^1/n = 1 при n→∞.

Введем a_n = x^1/n - 1, тогда a_n > 0. По неравенству Бернулли имеем, что x = (1 + a_n)ⁿ >= 1 + na_n. Тем более (1 + a_n)ⁿ >= na_n. Таким образом x >= na_n. Или же 0 < a_n <= x/n для любого n. x/n→0 при n→∞. По лемме 1

lim an = 0 при n→∞. lim an = lim (x^1/n - 1) = lim x^1/n - lim 1 = lim x^1/n - 1. Получается lim x^1/n - 1 = 0 или lim x^1/n = 1.