Дифференциал

Отношение приращения функции y = f(x) к отношению приращения аргумента стремится к значению производной при стремлении приращения аргумента к нулю.

при Δx→0. Бесконечно малая величина α→0 при Δx→0. То есть чем меньше мы будем брать Δx и соответствующее ему значение Δy, тем меньше отношение Δy/Δx будет отличаться от производной.

Умножим обе части на Δx:

Δy = f'(x)Δx + αΔx

Если функция y = f (x) имеет производную f'(x) в точке x, то произведение производной f'(x) на приращение Δx аргумента называется дифференциалом функции и обозначается символом dy = f'(x)Δx. Также может обозначаться как df(x).

Так как (x)' = 1 для функции y = x, то dx = Δx. То есть дифференциал аргумента равен его приращению.

Заметим, что дифференциал dy функции y = f(x) зависит от двух независимых переменных x и Δx. То есть для одного и того же значения производной можно получить различные значения дифференциала, беря различные приращения Δx.

Исходя из dy = f'(x)Δx и dx = Δx можно записать dy = f'(x)dx и тогда получаем:

Производную можно рассматривать с точки зрения, что она равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента. Учитывая то, что дифференциал функции - это произведение производной функции на дифференциал аргумента, имеем:

если y = uv, то dy = y'dx = (vu' + uv')dx = vu'dx + uv'dx = vdu + udv,

если y = u + v, то dy = y'dx = (u' + v')dx = u'dx + v'dx = du + dv.

Аналогично для дифференциала частного двух функций.